数量关系几何模块考查都逐渐增多，大小正方体构建的题目也时常出现。

题干：有边长为n厘米的正方体，现将它切割为边长为1厘米的小正方体。（有的时候反过来，用小的堆砌大的）。

问题：一般情况下将大正方体表面涂上颜色，围绕涂色的话题进行考查。

特征：此类题目接近现实生活，题意理解上没有多大难度，考生第一眼感觉放弃十分可惜。但如果平时积累不够，此类题目在考场上极容易做起来耗费时间且准确率不高。

要想快速做出此类题目，需要先熟练掌握以下几个问题：

1.大正方体有多少块小正方体构成？

2.大正方体单个面有多少块小正方形？

3.大正方体表面有多少块小正方形，涉及多少个小正方体？

4.三面涂色的小正方体有多少块？

5.两面涂色的小正方体有多少块？

6.只有一面被涂上色的小正方体有多少块？

7.表面没有被涂色的小正方体有多少块？

为了方便讲解这些问题，我们用一个大家非常熟悉的正方体为例，请看下图：

问题一：从魔方中很容易看出，每层上单排5个小正方体，整个一层5×5=25个，魔方共计5层，可得整个魔方有25×5=125个小正方体。即n三次方个。

问题二：从图中和问题一可得，单个面有25个小正方形，涉及25个小正方体。即n二次方个。

问题三：单个面有25个正方形，6个面一共150个正方形。但注意边缘的小正方体同时属于两个面，顶点的小正方体同时属于3个面。 此时有两种方法考虑。

1：先看黄色面，有25个小正方体，上面两个共计50个；再看蓝色面，去除上下两层（已被黄色面计算过了）还剩3×5=15个小正方体，两层共计为30个；最后看红色面，去除四周已经被计算过的，上下两层被黄色面计算过，左右两层被蓝色面计算过了，剩余3×3=9个，两层共计为18个。2n二次方 n(n-2） (n-2)的二次方。

表面可以被涂色颜色的小正方体：50 30 18=98个。

2：采取逆向思维。从图中可见，每行5个小正方体中的两端会被涂上颜色，中间3个不会，所有不漏出来的正方体为3的三次方为27个，在表面的涉及的小正方体为125-27=98个。

n三次方减(n-2)的三次方

问题四：从问题三和图中可得，三面涂色的小正方体只有顶点的8块。

问题五：从问题三和图中可得，两面涂色的小正方体是边缘的小正方体，每条边有3块，12条边共计36块。即12（n-2）个。

问题六：从问题三和图中可得，只有一面涂色的小正方体都位于表层中间，每个面上这种小正方体有9个，整个魔方6个面共计54个。即6倍（n-2）的二次方个。

问题七：从问题三和图中可得，整个魔方不漏出来的小正方体都属于没有涂色的，总计n3-(n-2)3个。

【真题演练】

1.1000个体积为1立方厘米的小正方体合在一起成为一个边长为10厘米的大正方体，大正方体表面涂油漆后，再分开为原来的小正方体，这些小正方体至少有一面被油漆涂过的数目是多少个？

A.490 B.488

C.484 D.480

2.一个木制正方体在表面涂上颜色，将它的每条棱三等分，然后从等分点将正方体割开，得到27个小正方体，将这些小正方体充分混合后，装入一个口袋，从这个口袋中随机取出两个小正方体，其中一个正方体只有一个面涂有颜色，另一个至少2个面涂有颜色的概率约为：

A.0.05 B.0.17

C.0.34 D.0.67

3.将一个8厘米×8厘米×1厘米的白色长方体木块的外表面涂上黑色颜料，然后将其切成64个棱长1厘米的小正方体，再用这些小正方体堆成棱长4厘米的大正方体，且使黑色的面向外露的面积尽量大，问大正方体的表面上有多少平方厘米是黑色的？

A.84 B.88

C.92 D.96

4.若干棱长为1cm的小正方体组成了一个棱长为8cm的大正方体，若此时将组成大正方体最外层的小正方体拿掉，然后将拿掉的小正方体所有面全部涂成黑色。若被涂黑的小正方体未从大正方体中拿掉，则被涂黑的面积将会减少多少？

A.1608 cm2 B.1392 cm2

C.428 cm2 D.128cm2

参考答案：BCBB