有限元法和差分法（有限差分法优缺点）

1、含义是什么？是如何将无限自由度问题转化为有限自由度问题的？

答：基本思想：几何离散和分片插值。

基本步骤：结构离散、单元分析和整体分析。

离散的含义：用假想的线或面将连续物体分割成由有限个单元组成的集合，且单元之间仅在节点处连接，单元之间的作用仅由节点传递。当单元趋近无限小，节点无限多，则这种离散结构将趋近于实际的连续结构。

2、有限元法与经典的差分法、里兹法有何区别？

区别：差分法：均匀离散求解域，差分代替微分，要求规则边界，几何形状复杂精度较低；里兹法：根据描述问题的微分方程和相应的定解构造等价的泛函表达式，求得近似解；有限元：基于变分法，采用分片近似进而逼近总体的求解微分方程的数值计算方法。

3、一根单位长度重量为q的悬挂直杆，上端固定，下端受垂直向下的外力P，试

1）建立其受拉伸的微分方程及边界条件；

2）构造其泛函形式；

3）基于有限元基本思想和泛函求极值构造其有限元的计算格式（即最小势能原理）。

4、以简单实例为对象，分别按虚功原理和变分原理导出有限元法的基本格式（单元刚度矩阵）。

5、什么是节点力和节点载荷？两者有何区别？

答：节点力：单元与单元之间通过节点相互作用

节点载荷：作用于节点上的外载

6、单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有何特点？其中每个矩阵元素的物理意义是什么（按自由度和节点解释）？

答：单元刚度矩阵：对称性、奇异性、主对角线恒为正

整体刚度矩阵：对称性、奇异性、主对角线恒为正、稀疏性、带状性。

Kij，表示j节点产生单位位移、其他节点位移为零时作用i节点的力，节点力等于节点位移与单元刚度元素乘积之和。

7、单元的形函数具有什么特点？有哪些性质？

答：形函数的特点：Ni为x，y的坐标函数，与位移函数有相同的阶次。形函数Ni在i节点的值为1，而在其他节点上的值为0；

单元内任一点的形函数之和恒等于1；

形函数的值在0~1间变化。

8、描述弹性体的基本变量是什么？基本方程有哪些组成？

答：基本变量：外力、应力、应变、位移

基本方程：平衡方程、几何方程、物理方程、几何条件

9、何谓应力、应变、位移的概念？应力与强度是什么关系？

答：应力：lim△Q/△A=S △A→0

应变：物体形状的改变

位移：弹性体内质点位置的变化

10、问题的微分方程提法、等效积分提法和泛函变分提法之间有何关系？何谓“强形式”？何谓“弱形式”，两者有何区别？建立弱形式的关键步骤是什么？

答：强弱的区分在于是否完全满足物理模型的条件。所谓强形式，是指由于物理模型的复杂性，各种边界条件的限制，使得对于所提出的微分方程，对所需要求得的解的要求太强。也就是需要满足的条件太复杂。比如不连续点的跳跃等等。将微分方程转化为弱形式就是弱化对方程解的要求。不拘泥于个别特殊点的要求，而放松为一段有限段上需要满足的条件，使解能够以离散的形式存在。

11、以平面微元体为例，考虑弹性力学基本假设，推导微分平衡方程。

12、常见的弹性力学问题解法有哪几类？各有何特点或局限？简述求解思路？

13、何谓平面应力问题？何谓平面应变问题？应力应变状态如何？如何判断？举例说

明？

答：平面应力问题：作用于很薄的板上的载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布，而在两板面上无外力作用

平面应变问题：长柱体的横截面沿长度方向不变，作用于长柱体结构上的载荷平行于横截面且沿纵向方向均与分布，两端面不受力。

14、何谓轴对称问题？如何判断？推导极坐标下的平衡方程和几何方程。

答：轴对称：几何形状、约束情况及所受的外力都对称于空间的某一跟轴，则通过该轴的任何平面都是物体的对称面，物体内的所有应力、应变和位移都关于该轴对称。

15、何谓虚位移原理？推导弹性体虚功方程的矩阵形式，并写出轴对称问题的虚功方

程。

16、什么叫外力势能？什么叫应变能？简述势能变分原理。试问势能变分原理代表了弹

性力学的那些方程？同时，附加了什么条件？

17、在三维弹性体中，若系统势能对位移变分为零。试证明一定满足应力平衡方程和应

力边界条件。

18、为了保证有限元解的收敛性，位移函数必须满足那些条件？为什么？

答：1.位移函数应包含刚体位移

2.位移函数应能反映单元的常应变状态

3.位移函数在单元内要连续，在单元边界上要协调。

19、位移函数构造为何按Pascal三角形进行？为什么？

答：选取多项式具有坐标的对称性，保证单元的位移分布不会因为人为选取的方位坐标不同而变化。

20、如何理解有限元解的下限性？简要说明。

21、何谓刚性位移？何谓常量应变？

答：刚性位移就是物体的形状不发生变化产生的位移

变形位移就是考虑物体产生的变形

22、在按位移法求解有限元法中，为什么说应力解的精度低于位移解的精度？

答：实际结构本来是具有无限个自由度，当用有限元求解时，结构被离散为有限个单元的集合，便只有有限个自由度了，限制了结构变形能力，从而导致结构的刚度增大、计算的位移减少，所以有限元求得的位移近似解小于精确解。

23、何为单元的协调性和完备性条件？为什么要满足这些条件？平面问题三节点三角形单元是如何满足这些条件？矩形四节点单元是否满足？

答：完备性准则：如果在能量泛函中所出现的位移函数的最高阶导数是m阶，则有限元解收敛的条件之一是单元函数至少是m阶的完全多项式。

24、何为协调单元？何为非协调单元？为什么有时非协调单元的计算精度还高于协调单元？

答：协调性准则：如果在能力泛函中的位移函数出现最高阶导数是m阶，则位移函数

在单元边界上必须具有m-1阶的连续导数。

网格划分不一样

25、何为常应变单元？其位移、应变、应力在单元内、单元边界上有何特性？

答：常应变单元：单元的应变分量均为常量。

位移函数在单元内部线性函数，内部连续。公共边界处位移协调。

单元的应力应变为常量，在相邻单元边界处，应变应力不连续，有突变。

26、假设平面三节点三角形单元的的位移模式为：

U=a1x2 a2xy a3y2

V=a4x2 a5xy a6y2

试计算该单元的形函数矩阵、单元刚度矩阵，并讨论该单元的特性。

27、平面矩形单元的位移、应力在单元内、单元边界上有何特性？试说明矩形单元刚度矩阵的计算与坐标原点位置无关。

答：常数项和线性项的系数反映了单元的刚体位移和常应变，满足收敛性的必要条件；在单元边界上，由于u，v分别仅为x或y的线性函数，则这样的单元的位移函数是双线性函数，这说明单元边界上的两点能唯一确定变形后的边界，而对于相邻的单元公共边界，它们具有公共节点，则不论按哪个单元确定公共边界上的位移，都能保证公共边界上具有相同的位移，即单元边界处位移具有连续性，满足协调性要求。

28、何谓面积坐标？其特点是什么？

答：Li=Ai/A；Lj=Aj/A;Lm=Am/A特点：只有两个坐标是独立的：Ai Aj Am=1

29、试分析以下几种平面单元的位移在单元公共边界上的连续性：1）常应变三角形单元；2）四节点矩形单元；3）六节点三角形单元；4）四节点直线边界四边形等参单元；

5）八节点曲线边界四边形等参单元。

答：常应变三角形单元：形函数只与节点坐标有关；单元应变分量均为常量；

收敛性：位移函数含单元常量应变；反应单元刚体位移；单元内部位移连续；相邻公共边界连续协调。

四节点矩形单元：位移函数满足收敛性条件，为协调单元；较常应变单元有更高的计算精度。

六节点三角形单元：比常应变三角形单元精度高

30、非节点载荷等效的基本原则是什么？

答：能量等效原则和圣维南原理。

31、试计算三节点三角形边界上不同线性分布载荷的等效节点载荷。

答：1.均质材料单元所受体力等效，只需将单元外载荷均匀等分至各个节点即可