怎样想到用三角形面积公式？

初看这个问题，感觉很无聊，求三角形面积，不用公式用什么？但随着教学推进过程中越来越多地出现了应该使用面积公式，学生即始终想不到用它，于是返回来重新审视这一应用最为广泛的面积公式，三角形的面积等于底与高乘积的一半，应该不简单。

最初级的应用就是给出三角形的底和高，计算三角形的面积，使用到的运算为乘法，现在在运算上提升，已知面积求底，或求高，立刻转变为除法，再变下去，只是简单增加运算量，并不值得。

换个方式考察，融入观察图形，这次应用起来十分精彩，以下面两道试题为例。

第一题

如图，△ABC的面积为4cm²，AP与∠ABC的平分线垂直，垂足为P，则△PBC的面积为__________cm².

解析：

条件元素有△ABC的面积，BP平分∠ABC，AP⊥BP，所求结论是△PBC的面积；

由△ABC的面积出发，求△PBC的面积，并且题目其它条件并无一个关于线段长度，意味着用最初级的面积公式法不可行，因此我们必须寻找这两个三角形面积之间的数量关系，并且由于△PBC在△ABC内部且共边，猜测它们是倍数关系，下面来证实。

BP是角平分线，同时也是AP的垂线，这两种性质的线重合，极易联想到等腰三角形中的“三线合一”，那么，等腰三角形在哪里呢？不妨延长AP交BC于点D，如下图：

我们很容易证明△ABP和△DBP中，∠BAD=∠BDA，于是BA=BD，得到等腰△ABD，然后根据三线合一，得到点P为AD中点；

至此本题的钥匙拿到了，BP是△ABD的中线，CP是△ACD的中线，它们都可以将三角形分成面积相等的两部分，于是S1=S2，S3=S4，而这四部分之和为4cm²，所以“各取一半”得到S2 S4=2，所以△PBC的面积为2cm²；