实际问题中的一次函数运用（八年级数学）

在用一次函数描述实际问题过程中，读懂题，看懂图，是前提条件，特别是学会分析统计图表中的数量关系，并与实际问题场景结合起来。以典型的行程问题为例，除了路程、速度与时间三个基本量之外，还需要与横纵坐标的意义结合起来，每一条线段、每一个交点，都有其实际意义。用函数描述实际问题，除了文字之外，更需要图表，它们结合起来，无疑是对学生的阅读理解提出了更高要求，这是完全不同于文字阅读的类型，属于数学阅读。

题目

甲、乙两地间的直线公路长为400千米，一辆轿车与一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发1小时，途中轿车出了故障，停下维修，货车仍继续行驶，1小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原速返回甲地(接到通知及掉头时间不计)，最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离y(千米)与轿车所用的时间x(小时)的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：

(1)货车的速度是____________千米/小时；轿车的速度是_________千米/小时，t的值为___________;

(2)求轿车距其出发地的距离y(千米)与所用时间x(小时)之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围；

(3)请直接写出货车出发多长时间两车相距90千米.

解析：

(1)虽然第1小题多半是送分题，但正是借助这种简单易得的结果，通读一遍题目条件及图象，找到所需信息，这一步是后面解题的关键。

首先解决的问题是，图中有两条函数图象，折线和线段，哪一条是轿车？哪一条是货车呢？

在图中，点D的纵坐标为400，那么它所在的直线与y轴交于点(0,50)，结合题目中“货车比轿车先出发1小时”，

很显然是货车，毕竟最终只有它是一直离开出发地直至终点。

在坐标系中，原点的意义是当时间为0时，即货车与轿车均未出发时，这很明显看出两辆车的出发地，题目条件中也有说明，即轿车从甲地、货车从乙地，因此当t=0时，轿车距离出发地(甲地)距离为0，货车距离出发地(乙地)50千米。

于是第一个结果也就出来了，货车的速度为50千米/小时。

顺藤摸瓜，轿车从出发到返回，时间和货车从距离乙地50千米至到达甲地相同，我们可以先求出这个时间，即350÷50=7小时，轿车也是这个时间，但要减掉排除故障的1小时，因此轿车总共用时6小时，它的总路程是240×2=480千米，所以轿车的速度是480÷6=80千米/小时。

最后一个结果是t，即轿车到达A处的时间，240÷80=3小时，即t=3；

(2)有了点A坐标(3,240)，可以求得OA这一段的函数解析式，为y=80x，其中0≤x≤3，然后是AB这一段的函数解析式，这是一段常函数，即y=240，其中3<x<4，最后是BC这一段，点B坐标为(4,240)，点C坐标为(7,0)，因此可得y=-80x 560，其中4≤x≤7；

(3)何时两车相距90千米，是本题的理解难点。我们首先从整个运动过程来分析，作为方法一：

在轿车出发4小时前，由于两车是相向而行，因此相距90千米有两种情况，即相遇前距离90千米和相遇后距离90千米。

相遇前：数量关系是轿车路程 货车路程 90千米=400千米，列方程为80x 50(x 1) 90=400，解得x=2，请注意这里的x是轿车出发后的时间，而货车比它早出发1小时，因此应回答货车出发3小时后；

相遇后：数量关系是轿车路程 货车路程-90千米=400千米，列方程为80x 50(x 1)-90=400，解得x=44/13，这超出了我们规定的范围即轿车出发4小时前，因此这个答案不符合。

那么在轿车出发4小时后，轿车返回甲地，货车也在向甲地前进，二者成为同向而行，由于结果是它们同时到达甲地，所以判断这期间是轿车追赶货车直到追上，得到轿车只可能在货车后面90千米处。而通过计算，我们大致可以描述这样的一幅场景，轿车向乙地前进，货车向甲地前进，然后它们相遇，此时为轿车出发40/13小时，然后第4小时轿车发生故障，再进行修理1小时，修理完毕返回追赶货车，直到一起到达甲地。

在轿车发生故障时，它们分别行驶了240千米和200千米，这说明此时它们距离为40千米，之后轿车原地未动(在修理)，货车依旧行驶，刚好过1小时，货车又前进了50千米，轿车修好，它们的距离刚好是40 50=90千米，因此轿车出发第4小时即货车出发第5小时。

所以有两个答案，货车出发3小时或5小时后两车相距90千米；

当然上述分析过程较为复杂，需要一定理解能力，能否借助一次函数图象来让问题解决得更简单呢？下面是方法二：

我们可以求出货车所在直线的函数解析式，为y=50x 50，但请注意，这里的x是指货车距离乙地的距离，在意义上与轿车那三段函数并不一致，因此需要修改它的函数关系，不妨令y为货车距离甲地的距离，那么当轿车出发时，它距离甲地应为350千米，最终和轿车同时抵达，所以图象应如下图所示：

此时货车的函数解析式为y=-50x 350，既然两车相距90千米，我们从图中可以发现，可能会存在两处，3小时前和4小时后，即故障前和排除故障后，正好吻合前面的过程。

所以我们可列两个方程，分别是-50x 350-(80x)=90和-80x 560-(-50x 350)=90，分别解得x=2和x=4，因此对应的货车时间分别是3小时和5小时.

解题反思

此题严格来讲并不是难题，但最后一问的理解却不太容易，因为轿车去而复返，导致整个运动过程复杂不少，而在同一个坐标系中用函数关系来描述，也遇到困难，即距各自出发地距离作为因变量，对于我们经常使用距离同一地方的距离，平添了不少麻烦，因此如果采用函数图象来解决问题，还需要注意变量的实际意义，否则会出现解答错误。

在上题中，只有都距离一个地方作为因变量，才能用点坐标相减作为它们之间的距离，否则一个距甲地，一个距乙地，南辕北辙。

*雪浪纸