迪卡西奥先生是我的高中老师，他严厉又不好相处，戴着一副古板的黑框眼镜，说话方式尖酸刻薄。我想很少有人会觉得这样一位先生具有魅力，但我觉得迪卡西奥先生对物理学的热情就很令人着迷。

有一天，我告诉迪卡西奥先生，我正在读爱因斯坦的传记。书中写道：“爱因斯坦上大学的时候，他觉得麦克斯韦的电磁方程组非常令人头晕。”我对迪卡西奥先生说，我真想赶快多学一些数学知识，这样我就能看懂麦克斯韦电磁方程组了。

我就读的学校是一所寄宿学校，当时我正和迪卡西奥先生同坐在一张餐桌前吃晚饭，同桌吃饭的还有迪卡西奥先生的太太和两个女儿，以及另外几位学生。当我说上述这段话时，迪卡西奥先生正在给我们盛土豆泥。一听到“麦克斯韦方程组”这几个字，迪卡西奥先生立刻扔下勺子，拿起一张餐巾纸就在上面奋笔疾书地写了起来。他画下一些线条，又写出一些神秘的符号。迪卡西奥先生一边写，一边嘴里还念念有词地说着：“旋度的旋度等于散度的梯度减去拉普拉斯平方……”

当时我心想，迪卡西奥先生在念叨什么呀。长大以后我明白了，他说的内容其实是向量微积分。向量微积分是数学的一个分支，专门用来描述我们周围那些看不见的“场”：让指北针指向北方的磁场，让你坐的椅子落在地上而不是飘在空中的重力场，把你的晚餐炸得像核武器爆炸现场的微波场……

向量微积分最大的成就是，它把数学和现实空前紧密地结合了起来。麦克斯韦的故事以一种奇怪的方式，彰显了数学在解释自然方面的简直不可言喻的无穷威力。仅仅是改变了几个符号的位置，麦克斯韦就破解了一个困扰人类已久的问题：光究竟是什么？

为了让大家更好地了解麦克斯韦究竟做了些什么，以及搞清楚什么是向量微积分，首先让我们一起研究一下“向量”这个词。

“向量”（vector）一词来自拉丁语词根vehere，意为“携带”。我们今天所使用的“车辆”（vehicle）、“传送带”（conveyor）等英文单词也都来自同一个词根。这也是为什么vector一词除了可解释为“向量”以外，还可以解释为“传染媒介”。对流行病学家来说，vector是病原的携带者，比如把疟疾传染给病人的蚊子就是一个vector。对数学家来说，vector则是把你从一个地方带到另一个地方的“脚步”（当然，这只是向量最简单的意思）。

看看下面这张图吧，这是一张为跳舞的人设计的舞蹈说明书，这些箭头告诉舞者，跳伦巴舞的时候，应该以什么样的顺序移动左右脚。上图中的那些箭头就是向量。向量包含两种信息，一是方向（向什么方向迈出脚），二是长度（这一步迈出的幅度有多大）。每一个向量都含有上述两种信息。

和数字一样，向量也可以做加减法运算。但因为向量含有方向的信息，所以向量的加减法运算比数字的加减法运算要复杂一些。只要你能紧紧抓住向量的定义，把它们看作舞步的说明书，向量的加减法运算就不那么难了。比如，向东一步与向北一步的和是多少？显然，这两个向量的和应该是一个指向东北方向的向量。

神奇的是，速度与力的加减法运算和舞步的加减法运算的性质完全一样。任何模仿过桑普拉斯的正手球的网球选手都应该对这个道理有很深的体会。桑普拉斯能够一边全力向边线冲刺，一边打出直指底线、落点非常准确的正手球。在模仿桑普拉斯的时候，如果你幼稚地向你希望的落点方向击球，球就一定会落到别的地方去，因为你忘记考虑你自己的跑动速度了。球相对于场地的速度是两个向量的和：一是球相对于你的速度（一个指向你瞄准方向——底线方向——的向量），二是你相对于场地的速度（一个指向边线的向量）。要想让球飞向底线，你瞄准的时候必须稍稍偏向场地的另一边，这样才能抵消你向场边跑动的速度。

我们上面说的这些内容都是向量代数，除了向量代数之外，还有向量微积分。我的高中老师迪卡西奥先生在餐巾纸上写的就是向量微积分。前文中我们已经说过，微积分是描述变化的数学。所以，不管向量微积分到底是什么东西，它肯定包括两个元素，一个是向量，另一个是变化。这种变化可以是时间方面的，也可以是空间方面的，后者我们称之为“向量场”。

向量场最经典的例子是一块磁铁附近的磁场。为了看到这个隐形的场，我们可以把磁铁放在一张纸上，然后在纸上撒些铁屑。每一个铁屑就像一个小小的指北针，只不过它们指的不是地球的“北”，而是由当地磁场决定的“北”。在这张纸上，铁屑会形成一种特殊的图案，那就是一条条从磁铁的一极指向另一极的磁场线。