在网上有很多关于这个问题的证明，但并不是很严格，这个问题需要理解实数的构造才能严格地证明。

为了更好地理解实数的构造，在这一期，我们先回顾有关有理数的知识点。

从有理数说起

一个数可以写成两个整数的比，

p=m/n，

其中m、n都是整数，则称p是一个有理数。

显然，在数轴上有非常多的有理数，

除了所有整数点是有理数，分数点也是有理数，

例如1/2、1/4、1/8.…

这说明在0和1之间有无穷多个有理数。

似乎直线上所有的点都是有理数，

这就是我们知道的有理数的稠密性。

但是情况绝不是这么简单。

有理数的稠密性

任意两个有理数之间都有无穷多个有理数，称为有理数的稠密性。或者可以说每两个有理点之间都存在着有理点。

毕达哥拉斯认为数轴上都是有理数，有理数是连续的，但事实并非如此。

很容易可以构造出一个无理数，以0到1的距离为边长构造一个正方形，联结对角线，再将它旋转到数轴上，对角线的长度就不是一个有理数（不可公度的线段），它不能表示成2个整数的比，所以有理数在数轴不是连续的，在数学上我们说有理数是不完备的。

有理数是不完备的

虽然数轴上无数个有理数，但中间有无理数隔着。对√2分别除以3、4、5… 的商，都是0到1之间的无理数，因此在0到1之间也有无穷多个无理数。

所以有理数是稠密的，并不是连续的，它在数轴上是以很多个点的形式存在的。

即，有理点虽然处处稠密，但不能覆盖整个数轴。

究竟该如何去定义无理数呢？这是一个数学难题，所以早期很多数学家拒绝承认无理数是数，直到19世纪末开展数学公理化运动，在戴德金、康托和维尔斯特拉斯建立了无理数的严格理论后，才真正解决了这个难题。从第一次发现无理数，到最后给出严格定义，大概用了2000年的时间。

后续几期，我们继续来聊聊十进制小数、无限小数、戴德金分割法等，再给出0.9循环等于1的严格证明。