1、列举法

8和12的公因数有哪些？其中最大的是几？

可以分别列举出8和12的所有因数， 再找一找。

8的因数:1，2，4，8。

12的因数:1，2，3，4，6，12。

8和12的公因数有1，2，4，其中最大的是4。

也可以先找出8的因数，再从8的因数中找12的因数。

8的因数:1，2，4，8。

其中1，2, 4也是12的因数。

8和12的公因数有1, 2，4，其中最大的是4。

2、短除法

例如求8和12的最大公因数

所以（8,12）=2×2=4

3、分解质因数法

求8和12的最大公因数

（8,12）=2×2=4

4、辗转相除法（欧几里得算法）

辗转相除法是先用两个数中较大的数除以较小的数，如果有余数，则用较小的那个数继续除以余数，按照这样的方法一直除下去，除到余数为0为止，那么最后的除数就是两个数的最大公因数。

此方法一般适用于两个数比较大的时候

比如求1734和816的最大公因数

（1734，816）=102

5、更相减损法（约分术）

以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公因数。

比如求98和63的最大公因数

（98,63）=7

当然，我们还可以通过观察两个数的特征来求最大公因数

1、如果两个数存在倍数关系，那么这两个数的最大公因数就是其中的较小数

比如36和12，36是12的倍数，那么36和12的最大公因数就是12

2、如果两个数是以下的情况，那么这两个数就互质，最大公因数为1

（1）两个不相同的质数一定是互质数。如：5和11、19和31是互质数。

（2）两个连续的自然数一定是互质数。如：5和6、13和14是互质数。

（3）相邻的两个奇数一定是互质数。如：7和9、85和87是互质数。

（4）1和其他所有的自然数一定是互质数。如：1和14、1和23是互质数。

（5）2和任意一个奇数都是互质数。如2和1、2和9都是互质数。

（6）一个奇数和因数只有2的偶数都是互质数。如9和4、3和8都是互质数。

（7）两个数中的较大一个是质数，这两个数一定是互质数。如：3和19、16和97是互质数。

（8）两个数中的较小一个是质数，而较大数是合数且不是较小数的倍数，这两个数一定是互质数。如：2和15、7和54是互质数。

（9）较大数比较小数的2倍多1或少1，这两个数一定是互质数。如：13和27、13和25是互质数。

求最大公因数的方法很多，我们应该灵活去应用不同的方法，多总结多感悟，最终会逐步熟练掌握。