01

抽屉问题

【含义】

在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题，如367个人中至少有两个人是同一天过生日，这类问题在生活中非常常见。

它所依据的理论，我们称之为“抽屉原理”。

抽屉原理又名狄利克雷原则，是符合某种条件的对象存在性问题有力工具。

【数量关系】

基本的抽屉原则是：

如果把n＋1个物体（也叫元素）放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中放着2个或更多的物体（元素）。

抽屉原则可以推广为：

如果有m个抽屉，元素的个数是抽屉个数的k倍多一些，那么至少有一个抽屉要放（k＋1）个或更多的元素。

02

解题思路和方法

目前,处理抽屉原理问题最基本和常用的方法是运用“最不利原则”,构造“最不利”“点最背”的情形。

例1：

不透明的箱子中有红、黄、蓝、绿四种颜色的球各20个，一次至少摸出多少个球才能保证摸出两个相同颜色的球？

解：

解决这个问题要考虑最不利的情况，因为有4种颜色，想要摸出两个相同颜色的球。

那么最不利的情况就是，每种颜色的各摸出一个，这时再摸一个球，一定与前几个球有颜色相同的。

因此至少要摸4 1=5(个)球。

例2：

袋子中有2个红球，3个黄球，4个蓝球，5个绿球，一次至少摸出多少个球就能保证摸到两种颜色的球？

解：

解决这个问题要考虑最不利情况，想要摸出两种颜色的球。

最不利的情况应该是将一种颜色的球都拿出来时，不论接下来摸的球是什么颜色都与之前颜色不同。

因为4种球的个数各不相同。

所以最不利的情况应该是先将个数最多的球都拿出来，接下来摸的球都一定与之前颜色不同。

因此至少摸出5 1=6(个)球

例3：

一次数学竞赛共5道选择题，评分标准为：基础分5分，答对一题得3分，答错扣1分，不答不得分。

要保证至少有4人得分相同，最少需要多少人参加竞赛？

解：

1、本题考察的是抽屉原理的相关知识，解决本题的关键是要知道得分一共有多少种不同的情况。

进而从最坏的情况开始考虑解决问题。

2、一共有5题，且有5分的基础分，那么每道题就有1分的基础分。

也就相当于答对一题得4分，答错不得分，不答得1分。

这次数学竞赛的得分情况有以下几种：

5题全对的只有1种情况：得20分；

对4题的有2种情况：1题答错得16分，1题没答得17分；

对3题的有3种情况：2题全错得12分，只错1题得13分，2题不做得14分；

对2题的有4种情况：3题全错得8分，只错2题得9分，只错1题得10分；3题全不答得11分；

对1题的有5种情况：4题全错得4分，只错3题得5分，只错2题得6分，只错1题得7分，4题全不答得8分；

答对0题有6 种情况：5题全错得0分；错4题得1分，错3题得2分，错2题得3分，错1题得4分，5题全不答得5分。

我们发现从0分到20分，只有19分、18分、15分这三个分数没有，其它都有。

所以一共有20 1-3=18（种）不同的得分，要保证有四人得分相同。

最少需要18×3 1 = 55（人）参加竞赛。