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圆形简单、对称、精致。但是我们到底要怎样去度量它呢？就这个问题而言，其实质是我们要怎样去度量弯曲的形状。

关于圆形，我们需要注意的第一件事情是，圆上的任意一点距离圆心的距离都相等。毕竟，只有这样它才能够成为一个圆。圆上的任意一点距离圆心的距离，我们称之为圆的半径。由于所有的圆其形状都相同，因此只有半径能够使一个圆区别于另外一个圆。圆的周长，我们称之为圆周（circumference，拉丁语“随身携带”的意思）。我想，对于圆而言，最自然的度量便是其面积和圆周。

让我们从做一些近似开始吧。如果我们在圆上放置一定数目的等距离的点，然后连接各点，由此我们就会得到一个正多边形。

这个正多边形的面积和周长的值比圆的相应值要小一些，但这两对值相当接近。如果我们放置更多的点，则可以使这两对值更加接近。假定我们所使用的点的数目很大，比方说为n。于是，我们就得到一个正 n边形，且其面积和周长与圆的真实面积和周长非常接近。关键的一点是，随着正 n边形边数的增多，正n边形也会越来越近似于圆。那么，此正多边形的面积又是多少呢？让我们将它切分成 n个相同的三角形吧。

这样，每个三角形的底边长度就等于正多边形的边长，令其为 s。而三角形的高度则是从圆心到正多边形边的距离，我们称该高度为 h。因此，每个三角形的面积为1/2hs，而正多边形的面积则为1/2hsn。注意到 sn正好是正多边形的周长，因此我们可以得出如下等式：