作者 | 刘洋洲

来源 | 转自知乎专栏《万物皆数也》，“数学英才”获授权转载，在此感谢！

简介：皮克定理

图1：格点多边形

如图1，设网格边长为1，如何计算图中多边形面积？或许我们会考虑利用割补法来化简计算难度，甚至我们干脆使用勾股定理和余弦定理……但这都不是本文所要探讨的内容。以上例子中所探讨的问题，我们称之为求格点多边形的面积（格点多边形，即多边形顶点位于格点的多边形），我们有专门的计算公式，即——

皮克定理（Pick's Theorem）

其中是格点多边形内部的点的个数，我们简称为内点数，是格点多边形边界点的个数，我们简称为边界点数。

我们随后讨论该定理的证明。观察并欣赏此定理，有几个值得一提的事实：

• 格点多边形的面积只与内点和边界点的数量有关，和多边形具体的形状无关；

• 格点多边形的面积是0.5的整数倍。

皮克定理既实用又富有理论价值。我们不需要余弦定理，只需要简单的计数，就连小朋友都可以得知平面不规则图形的面积。更进一步，我们利用此公式逼近闭曲线围城的面积，从而得到近似值；直观上讲，若网格越是细密，近似值就越精确，这当中蕴含着微积分的思想。

铺垫：欧拉公式

图2：3个洞就是3亏格

使用平面图的欧拉公式证明相对来说比较简洁。刚好我在之前的文章中有证明过平面图的欧拉公式，感兴趣的读者可以阅读《从黄金多面体到欧拉特征》（点击文章题目查看）。我们顺便介绍一个更一般的公式——

可定向闭曲面的欧拉公式

其中，表示有个“洞”的可定向闭曲面，例如图1中的圆环面，它只有一个“洞”，即。“洞”我们有个专有名词——亏格，我们下文仅仅需要用到亏格为的情况。公式中分别表示曲面上剖分的顶点数、棱数、面数。如图3，就是对圆环面的剖分；足球，则是用五边形与六边形对球面剖分。可定向闭曲面欧拉公式揭示了欧拉特征与曲面亏格之间的关系，这是数与形的美妙联系。

图3：矩形剖分