牛顿苹果是一个漂亮的故事，我们不必去争论故事的真假，因为这个故事的意义，已经超越了故事本身。

开普勒定律，在1618年由德国科学家开普勒提出，开普勒第一定律就指出了行星运行的轨道为椭圆；万有引力定律，在1687年，由牛顿于《自然哲学的数学原理》上发表。

两者是统一的，开普勒定律是万有引力的表象，意味着我们可以由万有引力定律，去推导开普勒三大定律。

在历史上，最先有万有引力和距离平方成反比想法的，是英国科学家胡克，就是那个对牛顿来说嫉恶如仇的胡克。

胡克是牛顿的领导（英国皇家学会会长），胡克在数学上远远不及牛顿，虽然他有了万有引力的想法，但是仅限于想法而已。

胡克就失败在这里，不然发现万有引力的皇冠，就是他的了！

胡克还是英国皇家学会会长时，就曾请教过牛顿，问牛顿是否能通过“引力和距离平方成反比”，来推导行星椭圆运动规律，牛顿给胡克的回答是肯定的，但是并没有告诉胡克具体的推导过程。

牛顿大神利用自创的微积分，加上天才的头脑，推导行星椭圆轨道，简直就是易如反掌。

以至于后来牛顿和胡克，因为“万有引力第一发现者”而结仇，当牛顿坐上英国皇家学会会长的位置后，恨不得把胡克打入“十八层地狱”。

我们借助虚数的性质，会更容易些，但是推导过程并不简单。我们把万有引力定律，表示为矢量形式：

其中（-e^iθ）借助欧拉公式后，表示的就是单位大小的矢量因子，给出了万有引力的方向，同时与万有引力结合参与运算；至于负号，是因为θ=0时，万有引力方向指向原点；并利用牛二定律，得到加速度a。

然后，我们需要考察速度和加速度极坐标的微分形式：

然后两个加速度公式，得到微分方程：

求解该微分方程，就可以得到轨道方程的解（详细推导过程，我悟空问答中有）：

该轨道方程，正是圆锥曲线的标准方程，其中e为偏心率！

（1）当e=0时，曲线为正圆；

（2）当0<e<1时，曲线为极点在下焦点的椭圆；

（3）当e=1时，曲线为开口向上的抛物线；

（4）当e>1时，曲线为极点在上焦点的双曲线；

至于偏心率实际为多少，取决于c1、C和GM，为大天体的引力场分布，和小物体的初始状态；sinθ=-1为近日点，sinθ=1为远日点。

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