一．概念描述

现代数学：要全面深刻地理解无限小数，有必要对实数做一个全面的了解。实数分为有理数和无理数。有理数可分为整数和分数。如果把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成整数，有限小数或无限循环小数，比如2=2.0，2/5=0.4，1/3=0.3333......。而无理数只能写成无限不循环小数，比如自然对数的底数e=2.718281828459045......；再如开方开不尽的数，像√2=1.414213562......等。无限不循环小数和无限循环小数不同，它的小数点后有无限个数位，却没有周期性的重复，换句话说就是没有规律。最有名的两个无限不循环小数就是圆周率π和自然对数的底数e。下面我们就来说说无限小数。

无限小数的定义一般有以下两种：

①它是不能除尽的数，经过计算化为小数后，小数部分无穷尽。

②小数部分的位数是无限的小数叫作无限小数。

无限小数可以分成无限循环小数(如1÷3=0.33……，1÷7=0. 142857142857……)和无限不循环小数（圆周率π=3.1415926535 ……，到2011年为止使用IBM蓝色基因／P超级计算机已计算到60000000000000位小数，仍然没有出现循环）。

小学数学：2005年人教版教材五年级上册的第28页明确指出：小数部分的位数是无限的小数叫作无限小数。例如，0.2142857142857……就是一个无限小数。

二．概念解读

在小学数学中给出的分数定义实质上是正有理数p/q的定义，其中q≥2。小数是分数的一种特殊表现形式，同质不同形。根据p/q的定义，在最简分数p/q中，当q可以分解为只含有因数2和5时，那么p/q可以用有限小数表示；当q可以分解为不只含有因数2和5时，那么p/q可以用无限小数表示。

我们知道，实数是由有理数和无理数组成的。实数和数轴上的点是一一对应的。因此，数轴上的每一个点都应该对应于唯一的一个实数。把直线用通常的方法标出 0、1、2这些整数点来，就是数轴了。这样，如果哪一个点正好落在某个整数点上，我们就可以用这个整数表示这个点。那么其他点如何表示呢？如果把0和1之间平均分成10份，第一个分点上就可以记为0.1，笫二分点可以记为0.2．第三个分点可以记为0.3 ……以此类推；如果把0和1之间平均分成100份，第一个分点上就可以记为0.01，第二个分点上可以记为0. 02，第三个分点上可以记为0.03……以此类推。在0和1之间可以平均分成10份、100份、1000份、100000000份……以此类推，我们可以无限地分下去，这样所得到的小数都是十进制小数。

现在我们把0和l之间的线段平均分成3份，第一个分点就是三分之一，如果用小数表示，首先要将0和1之间平均分成10份，三分之一落在了十等分的第三、第四两个分点之间，再把这个小线段十等分，它仍然在第三、第四两个分点之间……每次十等分，它都在第三、第四两个分点之间。那么我们只好用一个无限小数“0. 333 ……”来表示这个点了，其中的3是指过了第三个分点但没到第四个分点。而这个无限数表示的是三等分点，不是我们得到的那些十、百、千等分点。无限小数在数轴上所对应的点，都是不能用十进制小数表示的，它是一个以和它相等的分数的分母为等分数、分子为等分个数的点。

三．教学建议

(1)无限小数的意义可以通过体验来理解

例如在教学过程中，教师通常采取体验式教学。教师可首先出示“1÷3=”、“22÷7=”这样的算式让学生进行计算比赛，学生在计算过程中就会亲身体会到小数部分的无穷尽。根据学生的知识经验和心理特点，他们会对比赛跃跃欲试。比赛一开始，他们就会迅速地进行计算，当计算一段时间后，学生开始疑惑、犹豫、思考……他们会发现这样除下去永远都算不完，从而会停下来。这是学生通过计算初步体验无限的含义。为什么会出现永远也算不完这样的现象呢？教师可以引导学生通过观察竖式发现其中的道理：在进行除法计算时，每一次除完所得的余数必须比除数小，当某一个或几个余数没完没了地重复出现时，商中小数部分的某一个数字或某几个数字也会相应地重复出现。相等的余数会导致相等的商，这样余数和商就周期性地重复出现了。因此，商的小数部分的位数也就无穷无尽了。这样，学生不仅能再次体验到无限的含义，而且能理解其中的深刻道理。

(2)通过观察来感受无限小数的意义

教师可以把刚才“1÷3=”、“22÷7=”的算式让学生通过计算器或电脑计算完成，接着观察计算器或电脑上的结果，然后让学生思考“结果是不是计算器或电脑上所显示的答案？为什么？”因为学生经历了竖式的计算过程，理解了余数不断重复出现导致商的小数位数的无限，因而一定能够回答：“不是的，因为计算器显示的数字的个数是有限的，不能表示出‘1÷3=’、‘22÷7=’这样算式的计算结果。其实后面还有很多很多不断重复出现的数字，有无数多个位数。”学生通过观察推理也可以感受到无限小数的意义。这一次的感受是通过观察两个数相除所得结果这个角度，来理解无限小数意义的。

四．推荐阅读

(1)《数学辞海·第一卷》（裘光明，山西教育出版社，2002）

该书的第28页对无限小数的相关概念进行了具体说明。

（2)《古今数学思想》（克莱因，上海科学技术出版社，2002）

该书第一册第291-301页对数系和算术的状况做了非常详细的分析，对无限小数的理解很有帮助。