初等数论主要就是研究整数环的整除理论及同余理论。本质上说，初等数论的研究手段局限在整除性质上。

初等数论中经典的结论包括算术基本定理、欧几里得的质数无限证明、中国剩余定理、欧拉定理（其特例是费马小定理）等等。

以下是欧拉定理的一个预备定理：

这个定理的意思是说，ax by各种不同的正数，那就必然存在一个最小的正数，则这个最小的正数就可以整除ax by组合出的全部正数。

图1

上面证明中r=ax＋by-(ax0＋by0)q=a(x－x0q)＋b(y-y0q)这一步是先把r也表示成ax by的形式，以表明r也是集合S中的一个整数。由于S中的最小正数是ax0＋by0＞0，所以r不可能是正数。又因为r是整除后的余数，它只能大于等于0，由此得到r只能等于0。

则由r=0得到ax＋by=(ax0＋by0)q，也就是ax＋by可以被ax0＋by0整除，

即：(ax0＋by0)｜(ax＋by)。

并可以得到如下推论：

上面证明中，可以假设最小正数y0是a1x10 a2x20 a3x30 ... anxn0，然后按照图1的方法进行推导就可以了。

y0|ai是因为ai也可以写成a1x1 a2x2 a3x3 ... anxn的形式，比如a1，可以令x1=1,其它x2, x3等都为0就可以了。同样a2，可以令x2=1,其它xi等都为0就可以了。其它ai类推。这就说明了ai∈A，从而得到y0|ai。

由于自然数中最小正整数是1，如果ax by可以组合出数字1，则ax by自然可以被1整除。

那什么情况下组合不出1呢？比如我们假设a,b都是偶数，那么ax by就有公因子2,ax by就可以写成2(cx dy)的形式，由于cx dy可以组合出的最小正整数也是1，所以这种情况下ax by能够组合出的最小正整数就是2。