1.等差数列

请观察下列每一串数字，思考它们有什么特点？

（1）1、2、3、4、5、6、7、8、9

（2）2、4、6、8、10、12、14、16

（3）11、12、13、14、15、16、17、18

（4）100、105、110、115、120、125

像上面这样，如果一串数字，它们相邻两个数的差都相同，这样的一串数称为等差数列。

2.等差数列求和

例题：求1 2 3 4 …… 100的和

3.等差数列求和的解题思想

等差数列的求和主要涉及两种思想，一种是平均思想，一种是抵消思想，在这两种思想的指导下衍生出很多解题方法，如平均法、倒序相加法、高斯求和法、裂差法、裂和法等。

（1）平均思想

计算：15 15 15 15 15 15的和，大家不假思索就知道是15×6=90，现在请大家计算6 9 12 15 18 21 24，如果利用平均思想，让每个数都变成15，是不是就简单了，6 9 9 6 12 3 15 18-3 21-6 24-9=15 15 15 15 15 15 15=15×7=105。

（2）抵消思想

计算： 100-99 99-98 98-98 ……-2 2-1的和，观察发现，中间的数字可以抵消，之和为0，然后只剩下首尾等几个数，这个过程就体现了抵消思想。

4.等差数列的解题方法

以例题为例，求1 2 3 4 …… 100的和

（1）平均法

原式=1 2 3 4 …… 100 101-101=51×101-101=5050

若等差数列由奇数个数组成，中间那个数就是平均数，平均数也等于这个数列的大数和小数的平均值。故可以构建一个奇数个数组成的数列，利用平均法求解。

（2）首尾相加法

原式=1 2 3 4 …… 100=（1 100） （2 99） （3 98） ……（55 56）=（1 100）×（100÷2）=5050

（3）倒序相加法

设S=1 2 3 4 …… 100，S=100 …… 4 3 2 1，然后把两个等式对应的项相加，2S=（1 100） （2 99） （3 98）…… （100 1）=101×100，所以S=101×100÷2=5050

（4）列差法

1=（1×2-0×1）÷2，2=（2×3-1×2）÷2，3=（3×4-2×3）÷2，……100=（101×100-100×99）÷2

原式=1 2 3 4 …… 100=（1×2-0×1 2×3-1×2 3×4-2×3…… 101×100-100×99）÷2=（101×100-0×1）÷2=101×100÷2=5050

（5）高斯求和法

项数=（大-小）÷公差 1

和=（大＋小）÷2×项数

项数=（100-1）1 1=100

和=（100 1）÷2×100=5050

平均-商人迹象