一道初中求三角形周长的题

三角形ABC的边长AB=12， BC=24， 并且AC=18， 经过三角形ABC内心的直线与BC平行交于AB为M， 交于AC为N， 求三角形AMN的周长。

解法1：如图, 令内切圆的半径为r, 用面积法求r,

S=(12r 24r 18r)/2=27r

设BC的高为h, 则三角形ABC的面积为

S=24h/2=12h

因此：

27r=12h

即：

r/h=12/27=4/9,

如果三角形AMH的高为H， 那么

H/h=1-4/9=5/9,

由于MN平行于BC， 所以三角形AMN相似于三角形ABC，

因此其周长之比等于高的比，也是5/9

所以求得三角形AMN的周长为：

（12 24 18）x5/9=30

解法2：如图，O是内心，则BO是角ABC的角平分线

因此∠ABO=∠CBO， 又因为MN平行于BC，所以∠MOB =∠CBO

故：

∠ABO=∠MOB

即：MB=MO

同样： NC=NO

所以三角形AMN的周长：

这种解法证明了三角形AM的周长是与BC的长度无关的。