大家好，今天继续为大家分享。今天给大家分享一道难度适中的题目，重点是通过这道题来复习一下正方形的有关知识，正方形的定义、性质以及判定方法，在好多时候我们都需要用到正方形的性质和判定方法。下面先看题目：

如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE=AC，AE与CD相交于F，求证：CE=CF。

这道题是正方形和等腰三角形放一块来出的题，整体难度中等。把△ADE顺时针旋转90°得到△ABG，从而可得B、G、D三点在同一条直线上，然后可以证明△AGB与△CGB全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=CG，所以△AGC为等边三角形，根据等边三角形的性质可以推出∠CEF=∠CFE=75°，从而得证。下面来看具体过程：

证明：如图所示，顺时针旋转△ADE90°得到△ABG，连接CG。

∵∠ABG=∠ADE=90° 45°=135°，

∴B，G，D在一条直线上，

∴∠ABG=∠CBG=180°-45°=135°，

在△AGB与△CGB中，AB=BC，∠ABG=∠CBG，BG=BG

∴△AGB≌△CGB（SAS），

∴AG=AC=GC=AE，

∴△AGC为等边三角形，

∵AC⊥BD（正方形的对角线互相垂直），

∴∠AGB=30°，

∴∠EAC=30°，

∵AE=AC，

∴∠AEC=∠ACE=（180°-30°）/2=75°，

又∵∠EFC=∠DFA=45° 30°=75°，

∴CE=CF。

这道题综合考查了正方形的性质，全等三角形的判定，以及旋转变换的性质，根据旋转变换构造出图形是解题的关键。我们在这里借助这道题来回顾下正方形的有关知识：

（1）正方形的定义：

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。特殊的长方形。四条边都相等且四个角都是直角的四边形叫做正方形。有一组邻边相等的矩形是正方形。有一个角为直角的菱形是正方形。对角线平分且相等，并且对角线互相垂直的四边形为正方形。对角线相等的菱形是正方形。

（2）正方形的性质：

1、边：两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直；

2、内角：四个角都是90°；

3、对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角；

4、对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）；

5、正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质；

6、特殊性质：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；

正方形的判定：

判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形，再证明它是菱形（或矩形），最后证明它是矩形（或菱形）。

1：对角线相等的菱形是正方形。

2：有一个角为直角的菱形是正方形。

3：对角线互相垂直的矩形是正方形。

4：一组邻边相等的矩形是正方形。

5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

6：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。

7：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形。

8：一组邻边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。

9：既是菱形又是矩形的四边形是正方形。

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