函数奇偶性概念的解读与教学

高中数学大量的概念、定理、定律使很多学生望而却步，对概念一知半解，不能深入理解的话会导致解题思路混乱，抓不住解题要点。所以说数学概念是数学学科的灵魂与精髓，又是形成数学思想方法的出发点，教师想要让学生轻松接受这一知识点，必须要把握好概念教学这一关。

函数的奇偶性是函数的重要性质之一，在奇偶性的学习过程中一定要重视对奇偶性的概念的理解。能从对称的角度对函数的变化规律进行描述，从不同的角度对函数奇偶性进行理解，从而达到对函数奇偶性的灵活应用。教师在处理函数奇偶性的概念过程中，不能只让学生读一遍奇偶函数的定义就行了，而是要深入剖析。

一、概念解读

1.如果对于函数定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数。

2.如果对于函数f（x）定义域内任意一个x，都有f（-x）=-f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数。

如果函数f（x）是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f（x）具有奇偶性。

对函数奇偶性的定义理解有以下几点：

（1）对于定义域内的任意x都满足条件，所以奇偶性是整个定义域上的性质，要区别于单调性，判断一个函数是奇函数还是偶函数的前提条件是看它定义域是否关于原点对称。

（2）把等式f（-x）=f（x）翻译成文字语言是当自变量互为相反数时函数值相等；f（-x）=-f（x）为当自变量互为相反数时函数值也互为相反数。

（3）奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果函数的图像关于原点对称，则此函数为奇函数；偶函数的图像关于y轴对称，反过来，如果函数的图像关于y轴对称，则此函数为偶函数。

二、判定方法

1.利用奇偶函数的必要条件进行判别，即定义域是否关于原点对称。

2.直接利用定义判别。

若f（x）的定义域关于原点对称，则可验证是否满足f（-x）=-f（x）或f（-x）=f（x），从而判定是奇函数还是偶函数。若上述二者均不满足则是非奇非偶函数。

3.借助函数的图像判别。

例如：判断函数f（x）= 的奇偶性。

解：函数的定义域为{-1，1}，函数的图像表示两个点，即（-1，0），（1，0），它的图像既关于原点对称，又关于y轴对称。从而函数f（x）既是奇函数又是偶函数。通过练习，学生不仅掌握了概念的本质属性，而且掌握了判断其奇偶性的方法，提高了学生的思维能力和运算能力。

4.间接利用定义判别。

有时问题结构复杂，需要做变形才可明了，此时我们采用定义的变形来判别则方便得多。由奇偶函数的定义容易推出以下结论：在函数定义域关于原点对称的前提下：若f（x） f（-x）=0或f（x）-f（-x）=2f（x），则f'（x）是奇函数；若f（x） f（-x）=2f（x）或f（x）-f（-x）=0则f（x）是偶函数。

例如：判断函数f（x）=lg x的奇偶性

解：因为函数的定义域为R，关于原点对称，且

f（x） f（-x）=lg x （-x）=lg1=0，所以f（x）为奇函数。

5.利用奇偶函数的性质及复合函数的奇偶性判别。

结论1.若F（x）=f（x） g（x），且定义域关于原点对称，f（x），g（x）均为偶函数，则F（x）为偶函数；若f（x），g（x）均为奇函数，则F（x）为奇函数。

结论2.若u=g（x）为奇函数，y=f（u）对u来说是奇函数（或偶函数），则复合函数

y=f[g（x）]在定义域内为奇函数（或偶函数）。

例如：判别函数f（x）=x3（x2-1）的奇偶性。

解：因f1（x）=x2是偶函数，f2（x）=1是偶函数，所以是F（x）=x2-1偶函数。f3（x）=x3是奇函数，所以f（x）=f3（x）F（x）=x3（x2-1）是奇函数。

例如：判别函数f（x）=（x2-1）2的奇偶性。

解：令u=x2-1，f（u）=u2。因为u=x2-1为偶函数，f（u）=u2也为偶函数，所以f（x）=（x2-1）2为偶函数。