自发明解析几何以后，变量就登上了数学的舞台。函数概念提出以后，描述物体运动规律便有了相应的数学方法。然而在处理变量规律这个问题上，当时的科学家并没有找到强有力的方法，这极大地阻碍了科学研究。然而自牛顿和莱布尼茨两位科学大师创立微积分这一强有力的工具之后，这些问题都迎刃而解，一场属于数学的盛宴便开始了。

背景

关于“无穷”的思想，无论在古代西方还是中国，都有萌芽。“割圆术”就是这一思想的提现，阿基米德利用圆内正96边形得到圆周率π的值在223/71到22/7之间，而我国魏晋时期的著名数学家更是以惊人的圆内正3072边形将π的值精确到了3.1416。这些方法都体现了“无限分割之后再无限求和”的微积分数学思想。然而限于低下的生产实践水平，这些思想难以进一步发展完善。

时间很快到了16世纪，社会生产实践活动水平已经上了一个新台阶。天文学和物理学的快速发展带来了许多数学问题，例如如何求时候瞬时速度和加速度，如何计算曲边三角形的面积。进入17世纪之后，科学家们的注意力逐渐聚焦到了四大类问题上:1.已知物体的位移-时间关系函数，求其在任意时刻的速度与加速度；反过来，已知物体的加速度-时间函数，求速度与位移。2.求已知曲线的切线。3.求已知函数的最大值与最小值。4.求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心位置、物体（比如行星）作用于另一物体上的引力等。在这些问题的探索中，笛卡尔、巴罗(牛顿在剑桥大学的老师，微积分早期先驱之一)、开普勒、卡瓦列里(意大利数学家，“祖暅原理”的西方发现者)等科学家做出了开创性贡献。然而仍然没有形成完整的理论。在大量知识和方法的积累下，一门崭新的学科已经呼之欲出了。

巨人与大师:牛顿和莱布尼茨

牛顿(1642-1727）出生于一个纯粹的农民家庭，父亲早亡之后母亲又迫于生计改嫁给一个牧师，之后牛顿便和祖母一起生活。残酷的家庭处境造成了牛顿沉默寡言又倔强的性格。中学时代的牛顿成绩并不出众但好奇心和求知欲都相当旺盛，慧眼识人的中学校长和牛顿的叔父都十分鼓励牛顿去读大学，于是牛顿便以减费生的身份进入了剑桥大学三一学院，开始了他的科学巨人之路。

根据记载，牛顿对微积分问题的研究开始于1664年，此时他十分认真地研读了笛卡尔的巨著《几何学》，并且对书中求曲线切线的方法十分着迷，求知欲旺盛的牛顿迫切寻求一种更有效更一般的方法来解决这一问题。

思索了两年之后，在1666年10月，牛顿撰写了数学史上第一遍微积分论文《流数短论》，历史性地提出了“流数”这一概念。牛顿将“流数”对应与速度，即位移函数对时间的微商，然后又以速度对时间的微商来作为加速度。深思熟虑三年之后，牛顿又完成了第二篇论文《运用无穷多项方程的分析学》，此文给出了因变量对自变量求瞬时变化率的一般方法，而且还证明了面积可以通过求变化率的逆过程得到，这实际上已经非常接近微积分基本定理(即牛顿-莱布尼茨公式)。1671年，牛顿在第三篇论文《流数术与无穷级数》中完善了第一篇论文的内容，使得论述与方法都更加清晰。又过了5年，牛顿写出了他最成熟的微积分论文《曲线求积论》，进一步完善了对流数的理解并清晰叙述了微积分基本定理，还给出了他自己发明的一系列记号。

至此，一代巨人完成了创立微积分的伟大壮举。然而由于自己保守内敛的性格，牛顿长期没有公开发表自己的论文，仅为他少数好友所知。直到1687年，在好友哈雷的鼓励与要求之下，牛顿才出版了巨著《自然哲学的数学原理》，直到这时，牛顿关于微积分的工作才公诸于世。正是牛顿的迟疑，引发了牛顿和莱布尼茨谁才是“微积分之父”的百年之争，更是造成了英国科学界和欧洲大陆科学界的长期分隔。