判断正项级数敛散性是考研数学中经常考察的知识点。比值和根值判别法通常是判断正项级数敛散性的首选方法,它们使用的前提是所求的极限必须存在,且极限值不为1.用比较法判断正项级数的敛散性时,无论是不等式形式还是极限形式,都是比较两个级数一般项趋于零的速度,速度越快的级数收敛的可能性越大,因此,当“慢”的级数收敛时,“快”的一定收敛;当“快”的级数发散时,“慢”一定发散;当它们趋于零的速度“差不多"时,即同阶,则两个级数同敛散。通常以p-级数作为比较的参照。
判断正项级数的敛散性的方法:
(1)比值判别法;
(2)根值判别法;
(3)比较判别法;
(4)积分判别法。
题型一:利用比值判别法判断正项级数的敛散性
比值判别法:
比值判别法
例1:
解:运用比值判别法进行判断:
题型二:利用根值判别法判断正项级数的敛散性
根值判别法:
根值判别法
例2:
解:运用根值判别法进行判断: