一．概念描述

现代数学：倒数是指与一分数有特殊关系的数。即乘积是1的两个分数，互称为倒数。但是零没有倒数。非零任意数a的倒数是1/a，非零分数a/b的倒数是b/a。

小学数学：2007年北京版教材第11册的第13页这样阐释倒数：乘积是1的两个数互为倒数。

二．概念解读

公元前2000多年前，古巴比伦人就用“倒数表”把除号表示成六十进位制的小数，通过乘除数的倒数来做除法。

印度数学家马哈维拉（又名大雄），约850年撰写了《计算精华》一书。其中共含9章：①术语；②算术运算；③与分数有关的运算；④有各种特点的运算；⑤与三分律（比例律）有关的运算；⑥混合运算；⑦面积计算；⑧与挖掘有关的计算；⑨与影子有关的计算。他认

识到一个分数除以另一个分数，等于把这个分数的分子、分母颠倒相乘，也就是乘上除数的倒数。

(1)分数的倒数

找一个分数的倒数，如3/4，把3/4这个分数的分子和分母交换位置，使原来的分子做分母、原来的分母做分子，则这个分数变为4/3。3/4是4/3的倒数，也可以说4/3是3/4的倒数。求带分数的倒数，则要先把带分数化成假分数。对于-2/3这样的，也可以把分子看作-2。

(2)整数的倒数

找一个整数的倒数，如12，把12化成分数，即12/1，再把12/1这个分数的分子和分母交换位置，使原来的分子做分母、原来的分母做分子。则这个分数变为1/12，而12是1/12的倒数；也可以说1/12是12的倒数；还有一种说法，12和1/12互为倒数。不过，0没有倒数，倒数是其本身的数是1。

1的倒数还是1是因为：1化成分数1/1，1/1这个分数的分子和分母交换位置，让原来的分子做分母、原来的分母做分子，则这个分数变为1/1。1/1化成整数还是1，所以1的倒数还是1。

0没有倒数是因为：0化成分数0/1，0/1这个分数的分子和分母交换位置，让原来的分子做分母、原来的分母做分子，则这个分数变为1/0，但因为除数（分母）不能为0，否则分数无意义，所以0没有倒数。

(3)小数的倒数

①普通算法。

找1个小数的倒数，如0.25，把0.25化成分数，即1/4，再把1/4这个分数的分子和分母交换位置，让原来的分子做分母，原来的分母做分子，则这个分数变为4/1。再把4/1化成整数，即4，则0.25是4的倒数，也可以说4是0.25的倒数。

②用1计算法。

我们也可以用1去除以这个数，如0.25，1/0.25等于4，所以0.25的倒数是4---因为乘积是1的两个数互为倒数。分数、整数也都适用这个规律。

三．教学建议

“倒数”这一概念是在分数乘法之后出现的，它虽然和分数乘法没有什么直接联系，却为后面的分数除法转换成分数乘法的教学起到了铺路搭桥的关键性作用；同时也为初中一年级的有理数除法统一成有理数乘法教学奠定了良好基础。从这个意义上讲，学好“倒数”是学习小学分数除法与初中有理数除法的必要准备。

在教学倒数时，教师可以借助学生已有的知识储备，利用他们在现实生活中的经验积淀和社会生活中所形成的朴素认知（即数学现实），让他们亲自参与数学探究活动，而教师要适度收放。

如黄爱华老师在教学“倒数的认识”一课时，由学生熟悉的“找朋友”一次导入，围绕着“找朋友”，先让学生独立思考，然后再小组里交流，通过学生找朋友，从数中找到内在的联系。最后汇报，黄老师从学生呈现的信息中总结出乘积为1的互为朋友的两个数为倒数。第二环节：让学生自己寻找求一个数的倒数的方法。黄老师追问：是不是所有的自然数、小数、分数都有倒数？如果有，怎样很快找到一个数的倒数？请进一步研究，看看有什么发现？一系列的问题引导学生探究求一个数的倒数的方法。学生根据生活经验和互为倒数的朋友找到比较简洁易懂的求倒数的方法。在学生的发言中，让学生理解求一个数的倒数的方法，同时让学生进一步在讨论中理解“0”这个数没有倒数。这样对知识进行了勾连，让学生理解知识不是孤立的，要抓住知识间的本质联系，进行旧知识的迁移。第三环节：让学生体会“互为”的意思。黄老师先是根据学生的解释举出具体例子让学生深入理解“互为”的含义，接着总结了求自然数、分数的倒数的方法，然后让学生进一步探索求一个小数、带分数的倒数的方法。

之后就在这有序的多次收放中，学生逐步建构起求一个数的倒数的完整方法，发现其中的数学规律与奥秘：也就是在这有序的收放中，学生的思维能力得到培养，思维品质得到提升。

四．推荐阅读

《怎样培养学生的数感》（石迎春，吉林大学出版社，2013）

该书第六章在正确运用分数进行计算的介绍中，谈了倒数在分数除法计算中的价值。