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地图投影变形球面大圆弧的度量指标
摘要：地图投影是地图学的重要研究内容。任何地图投影都不可避免地存在变形问题。针对地图投影的变形，本文提出球面大圆弧和互补比率均值相结合的地图投影面积变形与形状变形指标。通过算例验证和相关性分析，大圆指标一方面简化了小圆指标（即互补比率均值）的计算过程，并能与小圆指标的结果保持一致；另一方面，大圆指标与微分指标之间也具有较高的一致性（形状变形指标的皮尔森积矩相关系数大于0.988）。由于大圆指标不依赖于微分计算，且计算简捷，因此大圆指标更具通用性。本文进一步采用回归分析对大圆指标进行分析，结果表明，大圆指标与微分指标具有较好的线性关系（线性回归的平均误差小于1.10‰）。为了降低采样点数量和解决采样点不统一问题，本文还提出了基于随机采样的指标计算方法，并对随机方法进行了验证和分析。依据大圆指标与微分指标的一致性和线性关系，可以认为使用大圆指标能够有效地评估地图投影的变形情况。
关键词：地图投影 几何变形 互补比率均值 大圆指标 回归分析 质量评估
引文格式：闫瑾, 杨绚, 李妮, 等. 地图投影变形球面大圆弧的度量指标. 测绘学报，2020，49(6)：711-723. DOI: 10.11947/j.AGCS.2020.20190101.
阅读全文：http://xb.sinomaps.com/article/2020/1001-1595/2020-6-711.htm
全文概述
利用地图投影的微分性质能够研究地图投影的变形[23]。基于微分的方法依据地图投影正解公式的偏导数，计算得到长度、面积或形状变形系数[24]。微分指标是一种传统的方法，但该指标计算过程相对复杂(需要进行偏导数的计算)，且要求被评估的地图投影具有连续可微的正解公式。对于直接球面剖分(direct spherical subdivision)方法，其构造是通过递归的方式进行的，不存在任意等级格网的通用构造公式，即不存在连续的地图投影公式。文献[25]给出的结果也表明直接球面剖分的互补比率均值指标并不连续，因此微分指标在使用中也存在应用受限的问题。面积变形系数也可以根据球面微圆的边界参数方程，对球面微圆所在区域进行数值积分求得[25]，但计算过程也较复杂，且积分运算一般不存在统一的形式。
本文拟提出一种不依赖于微分或积分运算的大圆面积指标，用于计算地图投影的面积变形系数，同时在文献[25]中提出的小圆指标(即互补比率均值指标)基础上简化得到大圆形状指标，用于计算地图投影的形状变形系数。基于大圆面积指标和大圆形状指标，结合随机采样方法，本文将针对不同类型的地图投影，开展评估、比较和分析，验证指标的有效性，并分析地图投影的质量。分析结果表明，大圆指标能够有效降低小圆指标和微分指标的计算量，并能够有效地评估地图投影质量。
1 不依赖微分计算的地图变形指标
1.1 互补比率均值
互补比率均值(averaged ratio between complementary profiles)[25]ρcs(文献[25]中以ρCP表示)是一种评价球面格网形状变形的方法，该指标由两项构成。为了区分小圆指标[25](带有上标s)与本文中的大圆意义下指标(带有上标g)，本文中以ρcs表示文献[25]中的ρCP，其计算公式为
