伽罗瓦提出一种名为“有限域”（finite field，日语将其称为“有限体”）的理论。在为大家做具体介绍之前，我先来讲讲什么是域。我们从上小学开始就不断学习与数有关的知识，想必大家一定已经发现了，学习中接触到的数的种类在逐渐增加。我们最先接触自然数 1, 2, 3, ……，然后是 2/3、3/4 等分数和 1.5、0.04 等小数，再后来又学习了 −2、-5 等负数。

接下来会接触到诸如正方形对角线的长度等，像 √2 这样的无理数。无理数无法用分数表示。

数自身不断进化，其种类也不断增加。这究竟是为什么呢？当然是为了方便计算。

当大家只了解自然数 1, 2, 3,…… 的时候，虽然可以自由地进行加法运算，但却无法随意地进行减法运算，因为较小的数不能减较大的数。想让小数减大数就要创造出新的负数。也就是说，只要将数的范围扩展至负数

…… , −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ……

就能自由地进行减法运算了。

但是，负数的出现并不能保证除法运算的自由进行，例如，我们还是无法得出 2 ÷ 3 的结果。为此必须引入 2/3 这种新的数，也就是说，分数是必需的。

包括所有正负整数和正负分数在内的数的集合叫作有理数，数的范围扩展至此，在这一范围内可以自由地进行加、减、乘、除的运算（不过，0 不能作除数）。

这种可以自由进行加减乘除运算的数的集合就叫作「域」。因此， 可以说全体有理数构成了域，即下列各等式是成立的。

不过，“域”这个字在这里没有什么特殊的含意。无论大家怎么查询都不会找到“域”在数学中的含意。

虽然全体有理数构成了域，但域并非仅指有理数。除有理数之外，还存在无理数。有理数和无理数共同构成了实数，所有实数也构成了域，即下列各等式也都成立。

所有实数都可以自由进行加减乘除运算，因此实数也构成了域。除此之外还有很多个域。

例如，所有具有以下这种形式的数也能构成域。