函数的单调性。

同学们好，欢迎来到数学微课堂。首先来看两张图片，这是一九九二至二零二一年中国和日本的gdp走势图。观察这两张图可以发现我国gdp在一九九二至二零二一这个时间段内始终保持上升趋势，而日本的gdp呈现起伏的变化状态。

在数学中如何描述这种上升或下降的现象？进入今天的学习函数的单调性。初中时同学就已经学会结合图像的特点用文字来描述函数的单调性。这节课就来学一种更为方便的定义形式，用符号语言对函数单调性进行代数刻画。

来看一个函数图像，如果对于i上任意两个值x1、x2，当x1小于x2时都有fx1小于fx2，就称函数fx是区间i上的增函数，也称fx在区间i上单调递增。类似的请同学们思考怎样去定义减函数？

再看这个图，如果对于i上任意两个值x1、x2，当x1小于x2时都有fx1大于fx2，就称函数fx是区间i上的减函数，也称fx在区间i上单调递减。

如果函数y=f(x)在区间i上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有严格的单调性，区间i叫做y=f(x)的单调区间。需要强调的是函数的单调性反映了在定义域内的某区间上随着自变量的变化，函数值变大或变小的规律。函数的这一性质要与它的定义区间紧密联系。

其次在说明单调性的数学语言中x1、x2的选取必须是任意的，即区间内的任意两个点都满足上述定义才能说明函数在区间内的单调性。以y=x的平方为例，图像在y轴左侧呈下降趋势，称函数为减函数。在y轴右侧呈上升趋势，称函数为增函数。

用数学语言来表示上升区间时零到正无穷，下降区间是负无穷到零，也就是当x属于零到正无穷时是增函数，当x属于负无穷到零时是减函数。