有关e的指数函数在数学中应用非常广泛，如人口增长，年利率计算，放射性衰变都离不开e的身影。

指数函数e^x在几何中最重要的一点就是：曲线上任一点切线的斜率与曲线在该点的高度成比例，且为一个常数，基于这样的事实，我们可以很容易的求出指数函数曲线下的面积

下面我们以Y=e^(x/b)为例，来计算该曲线下的面积，计算曲线下的面积，我们一般很容易想到一元微积分，但这里我们抛开微积分的思想，用形象直观的几何原理来演示，

首先Y=e^(x/b) 的导数是(1/b)*e^(x/b)，所以切线在X轴上的投影就是一个常数b，当切线从右往左移动到负无穷时，所经过的区域就是X轴上方的切线所扫过的区域，图中所示

因为任意点的切线在X轴上的投影始终为常数b，所有切线形成的切线簇是一个底为b，高为e^(x/b)的直角三角形，即切线簇区域的面积等于直角三角形的面积S=1/2 b*e^(x/b)

进一步显示，当切线向左平移时，切线与X轴的交点变成了一个公共点，均包含在图中斜线区域的直角三角形中，因此Y=e^(x/b)曲线和（-∞,X）区域之间的面积是直角三角形面积的两倍，它等于b*e^(x/b)，这和一元微积分得到的结果是一致的。