昵称为“ε=ε=呗”的读者朋友留言问到：

老师，我想请教一下直线，点之间的对称问题（比如直线关于直线的对称直线方程），有没有一些灵活的解法。因为我在算这些问题时总是得去找一个对称点，或者斜率，觉得很耗时间，运算量太大了.

ε=ε=呗，

的确，你讲到的对称问题属于这个类型：有思路，思路也清晰，但就是有运算量.

运算量大，是因为要求解对称点.

如何能够避开求对称点呢？

下面以“求直线m：x y-1=0关于直线p：3x-y-3=0对称的直线n的方程”为例，讲两个不求对称点的方法.

1

角平分线法

画出符合题意的图象如下.

首先，求出直线m和对称轴p的交点坐标，即A(0,1).

显然，A点在所求直线n上.

因为直线m，n关于直线n对称，我们可以把p看作角平分线.

在直线p上取个特殊点，当然越有利于运算越好，一般取在坐标轴上的点.

我们取直线p与y轴的交点B（0，-3）.根据角平分线的性质，点B到直线m和直线n的距离相等.

2

到角公式法

我上学时是要学习到角公式的（暴露年龄了哈），现行教材砍掉了.

其实也不复杂.

如下图所示.

直线m和直线n相交于点P，直线m绕点P逆时针旋转，第一次与n重合时所转的角α称为直线m到直线n的角.

那么，直线n到直线m的角是哪一个呢？

根据定义，应该是角β.

我们能看出，到角是带有方向的角，也成为有向角.

下面介绍到角公式.

其中α是到角.

k1是原直线的斜率，k2是到直线的斜率.

换句话讲，分子部分是逆时针方向箭头所指的直线斜率减去另一斜率.

3

用到角公式优化解题

回到原题.

显然，直线p到直线m的角等于直线n到直线p的角.

设直线n的斜率是k.

因为直线m的斜率是-1，直线p的斜率是3，根据到角公式有：

又因为直线n过点A(0，1)，所以直线n的方程是x-7y-1=0.