在高中数学中，圆的方程是选修课，也是高考常考的内容，圆的方程分为标准方程，一般方程.

（1）圆的标准方程：设圆心为C（a，b），半径为r，则圆的标准方程为（x-a）² （y-b）²=r，当圆心在坐标原点时，圆的标准方程为x² y²=r.

（2）圆的一般方程：当D² E²-4F>0时，方程x² y² Dx Ey F=0叫作圆的一般方程，它表示圆心为（-a/2,-E/2），半径为r=√（D² E²-F）/2的圆.

已知圆x² y² x-6y m=0和直线x 2y-3=0交于P,Q两点，且OP垂直OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.

【分析】

（1）利用垂直列出坐标之间的关系，再化为关于m的方程求解；

（2）OP垂直OQ得到O点在以PQ为直径的圆上，再利用勾股定理求解；

（3）利用圆的性质列出m的方程求解.

【解析】

解法一：

将x=3-2y，代入方程x² y² x-6y m=0.

得5y²-20y 12 m=0.

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1，y2满足条件：y1 y2=4，y1y2=（12 m）/5.

∵OP⊥OQ，∴x1x2 y1y2=0.

而x1=3-2y1，x2=3-2y2，

∴x1x2=9-6（y1 y2） 4y1y2.

∴m=3，此时Δ>0，圆心坐标为（-1/2，3），半径r=5/2.

解法二：

如图所示，设弦PQ中点为M,

∵O1M⊥PQ,K(O1M)=2.

∴O1M的方程为y-3=2x 1，即y=2x 4.

由方程组y=2x 4，x 2y-3=0，解得M的坐标为(-1，2).

则以PQ为直径的圆可设为（x 1）² （y-2）²=r².

在Rt△O1MQ中，O1Q²=O1M² MQ².

∴（-1/2 1）² （3-2）² 5=［1 （-6）²-4m］/4.

∴m=3.∴半径为5/2，圆心为（-1/2，3）.

解法三：

设过P,Q的圆系方程为

x² y² x-6y m λ（x 2y-3）=0.

由OP⊥OQ知，点O（0，0）在圆上.

∴m-3λ=0，即m=3λ.

∴圆的方程可化为

x² y² 6y 3λ λx 2λy-3λ=0.

即x² （1 λ）x y² 2（λ-3）y=0.

∴圆心M(-（1 λ）/2，2（3-λ）/2)，

又圆在PQ上，

∴-（1 λ）/2 2（3-λ）-3=0，∴λ=1，∴m=3.

∴圆心为（-1/2，3），半径为5/2.

【评析】

（1）在解决与圆有关的问题中，借助于圆的几何性质，往往使得思路简捷明了，简化思路，简便运算.

（2）本题中三种解法都是用方程思想求m值，即三种解法围绕“列出m的方程”求m值.