图3. “获胜”动力学与等级演变示意图

图3是该研究提出的“获胜”动力学与等级演变示意图，反映了5个节点在时间范围内等级的相对变化情况。横轴t代表不同时刻，纵轴s代表等级评分，在纵轴的位置越高意味着等级越高。虚线Δ代表t时刻下新产生的获胜关系。实线代表已存在的获胜经历，而不同深浅色的实线则反映时间变化情况下获胜关系的衰减情况。颜色越浅代表该获胜关系越“被遗忘”，或是不再那么重要。

这里引入“等级向量”（rank vector）γ的概念，它的第j个元素

表示新的指向第j个节点的可能性。如果当所有的γj相等，则此时状态是平等的，否则是有等级存在的。

图4. 不同参数下获胜动力学的等级变化图

图4中左侧（子图A、C、E、G）表示在不同β1和β2下等级向量的变化情况，不同的颜色跟踪不同节点的等级。右侧（子图B、D、F、H）表示在t=2000时的邻接矩阵。对比子图C和G，子图G中的等级分化更加明显。β1较小时“胜利者效应”较弱，整体近似平均主义。对于更大的β1，会有更明显的赢家效应。在文章中求得了评分函数下β1对整体等级演变带来剧变的临界值。当对高等级节点的偏好超过一个临界值时，平等主义的状态就会不稳定，等级制度就会出现。这个转换的位置取决于得分函数的结构和节点的初始状态。

而β2的影响似乎更体现在排名的稳定程度上。从图4子图E和G即可看出偏小的β2能减少网络中等级演变的波动，使网络等级演变更加平稳。

在该研究中选取了四组真实数据进行模型评估，分别是：数学学术交流网络，两个长尾小鹦鹉互动网络，以及一个兄弟会成员之间的友谊网络。其中的获胜关系i→j可以分别对应着：学校i的师生被招聘到学校j、鹦鹉j战胜鹦鹉i、兄弟会中成员j被成员i视作好朋友。

图5. 不同的评分函数可能导致不一样的等级演化状态

研究分别使用root degree、PageRanks和pringank评分函数对这些数据进行了分析。尽管如图5所示，对于不同的数据有着不同的最适合评分函数，但总结三种评分函数得到的参数估计、SEs以及优化得到的对数似然值，有如下几个特点：β1>0和β2<0可以反映在等级演变中的一种持续模式——虽然获胜关系的确会向高等级的节点流入（β1>0），但节点更可能真正产生关联的是那些在等级上接近它们的（β2<0）。这种认可或获胜关系往往会往上升几级，而不是直接关联到最高层。

在数学学术交流网络中，由于精英有限，排名偏低的学校很难招聘到排名高的学校的师生。在长尾小鹦鹉种群中，邻近水平的相互攻击可能通过传递威望以促进对统治等级的巩固。在兄弟会关系中，内在的社会规范可能驱使地位相似的人相互为伴。因此，虽然我们在参数估计中没有将这种模式归因于一种普遍的机制，但研究者们认为它这种等级的长期性将是未来研究的有趣课题。

这篇文章提出了一个简单而灵活的、长期的等级演化模型。当对高等级的偏好超过某个临界值时，平等主义的状态就会不稳定，等级制度将会涌现。该研究结果强调胜利者效应不需要内部因素，通过传递性威望而产生的社会强化足以导致社会等级的产生。

该时变网络生成模型在未来仍有改进空间：（1）扩展现有的基于网络的模型，以便从数据中统计了解它们的参数，这将使不同建模框架能够进行比较验证。（2）研究时间依赖的中心度和动态层次模型之间的关系也将是未来研究的趋势。特别是，时变中心理论（the theory of time-dependent centralities）面临着一个重要的方法论问题:不同的合理排序方法在应用于同一数据集时，会产生方向性不同的节点排序，预测传播过程中的中心节点同样重要。（3）好的中心性度量指标能够最有效地预测系统未来发展。在这个方向的进一步研究可以揭示不同形式的中心性度量如何来控制网络的进化。

胡一冰 | 作者

邓一雪 | 编辑

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