一、函数的周期性：

设函数 f（x）在区间 X 上有定义，若存在一个与 x 无关的正数 T ,

使对于任一 x∈X,恒有 f（x T）= f（x）

则称 f（x）是以 T 为周期的周期函数，把满足上式的最小正数 T 称为函数 f（x）的周期。

二、周期函数的运算性质：

①若T为f（x）的周期，则f（ax b）的周期为 T/|a| 。

②若f(x)，g(x)均是以T为周期的函数，则f(x)±g(x)也是以T为周期的函数。

③若f(x)，g(x)分别是以T1，T2，T1≠T2为周期的函数，则f(x)±g(x)是以T1，T2的最小公倍数为周期的函数。

三、常见的周期函数有：

sinx，cosx，其周期 T=2π；

tanx，cotx,|sinx|,|cosx|，其周期 T=π。

解题提示：判别给定函数f（x）是否为周期函数，主要是根据周期的定义，有时也用其运算性质。

四、例题：

设对一切实数x，有f（1/2 x）= 1/2 √【f(x)- f^2(x)】,则f（x）是周期为多少的周期函数？

解：f【1/2 （1/2 x）】= 1/2 √【f(1/2 x)- f^2(1/2 x)】

=1/2 √【1/4 - f(x) f^2(x)】= 1/2 【 f(x) - 1/2】

= f(x),(由题设 f(x)≥1/2)

即 f(1 x) = f(x) ,故可知f(x)的周期为1 。