数学中的某些理论好像都是一个个散落的珍珠,能否把它们统一在一起,这正是我感兴趣的。
把一个单位分数拆分成几个单位分数之和,至少有如下两个不同的形式:
1、分母裂项拆分基本公式之一:1/n = (n 1)/[n(n 1)]=1/(n 1) 1/[n(n 1)]-------(1)
2、分母裂项拆分基本公式之二:1/n= (n k1 k2 k3 … kn)/[n(n k1 k2 k3 … kn)]------(2)
(其中k1、k2、k3、…kn都是n的因数之一)
(以上基本数理来自于网络)
思考的起点图
许多的问题总会接连不断地浮现,总希望能找出思考的头绪:
1、它们的根源从何而来?
2、如何用最通俗的语言来描述?
3、每种数理包括哪些基本知识?
如何放在一个数理框架下进行讨论呢?先看以下几个基本知识的概念:
(1) 单位分数定义:我们把分子是1、分母是自然数的分数叫单位分数,记成1/n。
(2) 真分数:分子和分母都是正整数,分子小于分母的分数,它们都大于0而小于1。大于0而小于1的分数叫做真分数。
(3) 假分数:分子和分母都是正整数,分子等于分母或分子大于分母的分数,它们等于1或大于1,等于1或大于1的分数叫作假分数。
(从单位分数概念中分析得出“1/1=1”是假分数,在真分数中1/2是最大的单位分数,所以下面的单位分数中分母都从2开始,只讨论真分数形式。)
(4) 分数基本运算方法(或法则)之一:分子分母同乘(或除以)一个不为0的数,其分数值不变。
通过对上面的分数基本运算方法(或法则)进行分析,基本表达式如下:
1/n = m/(mn) (m>0 m,n∈N(自然数))---------(3)
(即:分子分母同乘(或除以)一个不为0的数,其分数值不变。)
接下来对(3)式进行变形:
1、设m=n k, k∈N(自然数)其(3)式基本形式变化如下:
1/n = (n k)/[n(n k)] =1/(n k) k/[n(n k)]-------(4)
1)设k=1时,(4)式就变成了如下形式:
1/n = (n 1)/[n(n 1)]=1/(n 1) 1/[n(n 1)]-------(1)
这就是开头的分母裂项拆分的基本公式之一。
所以(1)式就是从(3)式中演绎出来的特例:
(备注:演绎推理是由一般到特殊的推理方法。)
演绎推理:从一般表达式“1/n = m/(mn)”开始,先是对m分类(或限定),当满足“m=n k”条件时,再对k分类(或限定),当满足“k=1”这个条件时就成立了。
因此m=n 1只是“1/n = m/(mn)”表达式中,m取值的一个特例。
为什么要将m变成“m=n 1”呢?如何用最通俗的语言来描述?再看下面几个基本知识的概念:
1、 因数(或约数)与倍数定义:设a,b是整数,b≠0。如果有一个整数C,它便得a=bc,则a叫做b的倍数, b叫做a的因数。
单位分数的表达基本形式其分子只能是1.因此分子不为1时,则分子必定是分母的约数。
这就是对因数(或约数)知识点的运用。
例如因数(或约数)概念中:c/a=c/bc=1/b. (b≠0,c≠0)那么“1/b”就是单位分数的表达基本形式。
2、 素数(或质数)与合数:质数又称素数。一个大于1的自然数,除了1和它自身外,不能被其他自然数整除的数叫做质数;否则称为合数。(规定1既不是质数也不是合数)。
通过对上面素数(或质数)与合数的概念分析,我们知道对于任何自然数“1”和“它自身”都是这个自然数的约数。
因此对于任何自然数都有如下表达方式:
n=n*1(任何数乘以1都等于这个数本身)
m=n 1 则m刚好等于“n=n*1”中“n的两个因数(或约数)n与1”的和。
思考结论:单位分数拆分与这个数本身的因数(或约数)有关。n与1都是n的因数(或约数)。它们从素数(或质数)与合数的概念中得来。
当m=n 1时:
1/n = (n 1)/[n(n 1)]=1/(n 1) 1/[n(n 1)]-------(1)
对(1)式举例说明。
例如:
1/7=(1 7)/[7*(7 1)]
=(7 1)/(7*8)
=1/8 1/56 (对(1)式运用一次,便将“单位分数1/7拆分成2个单位分数之和”)
=9/(8*9) 1/56
=(8 1)/(8*9) 1/56
=1/9 1/72 1/56
(再次对(1)式运用,便将“分数单位分数1/7拆分成3个单位分数之和”。
或者将1/56 拆分“ =1/8 1/ (56 1)/[56*(56 1)]=1/8 1/57 1/3192” )
……
由此可见:用这种拆了又拆,不断递进的拆分方法,可以将任何一个单位分数拆分成N个单位分数之和。
即然m=n 1只是一种特例,有没有其它的特例呢?
显然合数的因数(或约数)就不只有”1”与”它本身’,因此就会产生新的拆分方式。
先看算术基本定理:
算术基本定理定义
从算术基本定理定义中可以看出,就是讲合数的标准分解式。
例如:
10=2*5,2、5两个数都是素数。符合N 的标准分解式。
10=1*10,这种形式就“m=n 1”的形式,即满足表达式(1)
因此k至少可以选择:1、2、5、10
由于“分子分母同乘(或除以)一个不为0的数,其分数值不变。”
其基本数理如下:
1/n = m/(mn) (m>0 m,n∈N(自然数))---------(3)
当m=n k时
1/n = (n k)/[n(n k)] =1/(n k) k/[n(n k)]-------(4)
k取n的某个因数(或约数),如下:
1、 当n=10,k=1时,
1/10=(10 1)/(10*11)=1/11 1/110
2、 当n=10,k=2时
1/10=(10 2)/(10*12)=1/12 1/60
3、 当n=10,k=5时
1/10=(10 5)/(10*15)=1/15 1/30
4、 当n=10,k=10时(特殊情况)
1/10=(10 10)/(10*20)=1/20 1/20
(这里便是两个分母一样,是常见的“一分为二”)
上面的是m=n k,m是n的基础上再加某个数k,k为n的某个因数(或约数)。
下面再看k的另一种情况:
m=k,(这里的K不是一个数,而是与n有关的两个因数的和)1、 当k=1 2,
1/10=(1 2)/(10*3)=1/30 1/15
2、 当k=1 5
1/10=(1 5)/(10*6)=1/60 1/12
3、 当K=2 5
1/10=(2 5)/(10*7)=1/35 1/14
以上便是“单位分数1/10拆分成2个单位分数之和”的几种情况。(仅供参考)
对于K的拓展就可以知道:
m=k, (这里K不是一个数,而是与n有关的3个因数的和。)1、 当k=1 2 5,
1/10=(1 2 5)/(10*8)=1/80 1/40 1/16
2、 当k=1 2 10
1/10=(1 2 10)/(10*13)=1/130 1/65 1/13
3、 当K=1 5 10
1/10=(1 5 10)/(10*16)=1/160 1/32 1/16
4、 当K=2 5 10
1/10=(2 5 10)/(10*17)=1/170 1/34 1/17
以上便是“单位分数1/10拆分成3个单位分数之和”的几种情况。(仅供参考)
当K是n有关的4个因数的和时,显然有:当K=1 2 5 10
1/10=(1 2 5 10)/(10*18)=1/180 1/90 1/36 1/18
思考结论总结:单位分数拆分与这个数本身的因数(或约数)有关。只与的k取值有关,k是n的两个因数或多个因数之和。
基本数理是:
分数计算法则之一:分子分母同乘(或除以)一个不为0的数,其分数值不变。
基本表达式如下:
1/n = m/(mn) (m>0 m,n∈N(自然数))---------(3)
(其中m=k,k是n的两个或多个因数(或约数)的和)
除了上面的这种方法以外,还有一种对m倍增的方法。(个人爱好,仅做思考拓展。)
基本数理是:
分数计算法则之一:分子分母同乘(或除以)一个不为0的数,其分数值不变。
具体表达式如下:
1/n = m/(mn) (m>0 m,n∈N(自然数))---------(3)
m=ki, (第一个K1 =K, K2=2^(2-1)* K, K3= 2^(3-1)*K…ki=2^(i-1)*k,其中k是n的两个或多个因数(或约数)的和)
例如:
当n=7,k=1 7=8
1、 当K1=k=1 7=8时,(这里K1=k)
1/7=(1 7)/(7*8)=1/8 1/56
2、 当K2=2^(2-1)*K=2* (1 7)=16时,(可以理解为K2是K1的2倍,是K的2倍)
1/7=(1 7 8)/(7*16)=1/112 1/16 1/14
3、 当K3=2^(3-1)*K=2^2*(1 7)=32时,(可以理解为K3是K2的2倍,是K的4倍)
1/7=(1 7 8 16)/(7*32)=1/224 1/32 1/28 1/14
4、 当K4=2^(4-1)*K=2^2*(1 7)=64时,(可以理解为K4是K3的2倍,是K的8倍)
1/7=(1 7 8 16 32)/(7*64)=1/448 1/64 1/56 1/28 1/14
……
先看完全数定义:它所有的真因子(即除了自身以外的约数)的和(即因子函数),恰好等于它本身。如果一个数恰好等于它的真因子之和,则称该数为“完全数”。 例如:第一个完全数是6,它有约数1、2、3、6,除去它本身6外,其余3个数相加,1 2 3=6。
用这种方法,对于单位分数中分母为“完全数”有如下拆分:
当n =6,k=1 2 3
1、 当K1=k=1 2 3=6时
1/6=(1 2 3)/(6*6)=1/36 1/18 1/12
2、 当K2=2^(2-1)*K=2* (1 2 3)=1 2 3 6=12时(其中K2是K1的2倍)
1/6=(1 2 3 6)/(6*12)=1/72 1/36 1/24 1/12
3、 当K3=2^(3-1)*K=2^2*(1 2 3)= 1 2 3 6 12=24时(其中K3是K2的2倍)
1/6=(1 2 3 6 12)/(6*24)=1/144 1/72 1/48 1/24 1/12
4、 当K4=2^(4-1)*K=2^3* (1 2 3)= (1 2 3 6 12 24)=48时(其中K4是K3的2倍)
1/6=(1 2 3 6 12 24)/(6*48)=1/288 1/144 1/96 1/48 1/24 1/12
......
总结如下:单位分数拆分演绎图
如有不当之处,敬请斧正!
题外话:将分数拆分成几个单位分数之和的作用是什么?
仁者见仁,智者见智,每个人的理解可能都不一样。
例如有一个题:把7个面包分给8个人,解答的形式是7/8=1/2 1/4 1/8.从式子中可以看出,应该把面包切成这样的几份:把4个面包每个切成两份,2只面包都切成四份,一只面包切成8份。(摘抄于<数学简史>第25页)
本文中包括以下数学知识点:1、 分数分为三类:真分数、假分数、带分数
1) 真分数:分子和分母都是正整数,分子小于分母的分数,它们都大于0而小于1。大于0而小于1的分数叫做真分数。
2) 假分数:分子和分母都是正整数,分子等于分母或分子大于分母的分数,它们等于1或大于1,等于1或大于1的分数叫作假分数。
3) 带分数:整数后面带有分数叫做带分数。(可以当是假分数的另一种形式。)
2、 单位分数定义:我们把分子是1、分母是自然数的分数叫单位分数,记成1/n。
3、 分母裂项拆分基本公式之一:1/[n(n 1)]=(1/n)- [1/(n 1)]。
4、 分数计算法则之一:分子分母同乘(或除以)一个不为0的数,其分数值不变。
5、 算术基本定理可表述为:任何一个大于1的自然数 N,如果N不为质数,那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积N=P1^a1P2^a2P3^a3......Pn^an,这里P1<P2<P3......<Pn均为质数,其中指数ai是正整数。这样的分解称为 N 的标准分解式。
6、 素数(或质数)与合数:质数又称素数。一个大于1的自然数,除了1和它自身外,不能被其他自然数整除的数叫做质数;否则称为合数。(规定1既不是质数也不是合数)。
7、 因数(或约数)与倍数定义:设a,b是整数,b≠0。如果有一个整数C,它便得a=b C,则a叫做b的倍数, b叫做a的因数。
8、 完全数定义:“完全数(Perfect number),又称完美数或完备数,是一些特殊的自然数。它所有的真因子(即除了自身以外的约数)的和(即因子函数),恰好等于它本身。如果一个数恰好等于它的真因子之和,则称该数为“完全数”。 例如:第一个完全数是6,它有约数1、2、3、6,除去它本身6外,其余3个数相加,1 2 3=6。第二个完全数是28,它有约数1、2、4、7、14、28,除去它本身28外,其余5个数相加,1 2 4 7 14=28。第三个完全数是496,有约数1、2、4、8、16、31、62、124、248、496,除去其本身496外,其余9个数相加,1 2 4 8 16 31 62 124 248=496。后面的完全数还有8128、33550336等等。