作者 | 扬帆起航552来源 | 小谜题大世界

与之前文章不同的是，标题中的“组合”一词有两层内涵——既包括两种几何体的拼接，也包括从正多面体中削去基本几何体。

一、正多面体与基本几何体的拼接

我们知道，正多面体有五种：由三角形面构成的正四面体，正八面体，正二十面体；由正方形面构成的正六面体；由正五边形构成的正十二面体。

基本几何体有三类：棱锥、台塔和丸塔。台塔的底面有正六边形，正八边形和正十边形，丸塔的底面是正十边形，均不能加在正多面体上面。用磁力片稍作尝试可以发现，台塔和丸塔的侧面也不行。

因此，只可能是棱锥与正多面体拼接。

（一）正四面体 正三棱锥

实验发现，正四面体加一个正三棱锥，得到的是双三棱锥，而加两个、三个或四个得到的都是凹多面体。

（二）正八面体 正三棱锥

在上期中，我们讲过，正八面体不管增加几个三棱锥，得到的要么是凹多面体，要么是正四面体，要么含有非正多边形的面，总之不能得到约翰逊多面体。

（三）正二十面体 正三棱锥

由于正二十面体的表面已经比较平坦，就算只加一个三棱锥，得到的也是凹多面体。

（四）正六面体 正四棱锥

这个其实在第三期讲棱柱与棱锥的组合时已经涵盖了，正六面体就是所有棱长相等的正四棱柱，其与正四棱锥的组合只可能是正四角锥柱或双四角锥柱。

（五）正十二面体 正五棱锥

最后，正十二面体相邻两个面的二面角约为116.57°，正五棱锥侧面与底面的夹角约为37.38°，因为116.57° 2×37.38°=191.33°＞180°，因此，添加的两个正五棱锥不能有公共边。换句话说，正十二面体中，能添加五棱锥的面不能相邻。

这样的面最多有几个呢？我们把正十二面体放在一个水平面上，则表面可以划分为顶面、底面、五个上层面和五个下层面。

这样，不难发现，符合要求的面最多只有三个——例如5个下层面中的两个不相邻的面，以及顶面。

根据添加的正五棱锥的数目和位置，我们可以得到4种约翰逊多面体：侧锥正十二面体、双侧锥正十二面体（即两个面相对）、二侧锥正十二面体（即两个面不相对）、三侧锥正十二面体。

二、正多面体削去基本几何体

正多面体的每个面都相同，这就为削去基本几何体中的棱锥提供了条件。在五种正多面体中，只有正四面体、正八面体和正20面体的面是等边三角形。正四面体削去正三棱锥什么也不剩了，正八面体削去正四棱锥还剩一个正四棱锥，故只需讨论正20面体削去正五棱锥的情况。

不难理解，削去的正五棱锥之间可以不能有公共体积（否则得不到完整的五边形面），也就是要求这些正五棱锥的顶点不能相邻。那么正20面体上最多能找出几个两两不相邻的顶点呢？

如上图，最多三个（实际上，因为正二十面体与正十二面体互为对偶，这三个顶点就是上一幅图中的三个面）。根据削去的正五棱锥数量的不同，得到两种约翰逊多面体：欠二侧锥正二十面体、欠三侧锥正二十面体。

为什么没有欠侧锥正二十面体和欠双侧锥正二十面体（两个棱锥的顶点关于中心对称）？因为它们分别是正五棱锥反棱柱和正五角反棱柱。

另外很难想到的是，在欠三侧锥正二十面体的基础上，还可以增加一个正三棱锥而凹凸性不变。

至此，正多面体与基本几何体的7种组合全部明晰了，现罗列如下:

侧锥正十二面体