利润及打折问题
● 典例探究
【例1】（2016•荆州）互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为200元，按标价的五折销售，仍可获利20元，则这件商品的进价为（ ）
A．120元 B．100元C．80元 D．60元
【解析】设该商品的进价为x元/件，根据“售价=进价 利润”即可列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．解：设该商品的进价为x元/件，依题意得：（x 20）=200×0.5，解得：x=80．∴该商品的进价为80元/件．[来源:Zxxk.Com]故选C．
【例2】（2015•长沙）长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获利润500元，其利润率为20%．现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为（ ）A． 562.5元B． 875元C． 550元D． 750元
【解析】由利润率算出成本，设标价为x元，则根据“按标价打八折销售该电器一件，则可获利润500元”可以得到x的值；然后计算打九折销售该电器一件所获得的利润．解答：解：设标价为x元，成本为y元，由利润率定义得500÷y=20%，y=2500（元）．x×0.8﹣2500=500，解得：x=3750．则3750×0.9﹣2500=875（元）．故选：B．
● 方法突破
商品销售额＝商品销售价×商品销售量商品的销售总利润＝（销售价－成本价）× 销售量单件商品利润＝商品售价－商品进价＝商品标价×折扣率－商品进价
商品打几折出售，就是按原标价的十分之几出售，即商品售价=商品标价×折扣率
利率和增长率问题
● 典例探究
【例1】（2016•安徽）2014年我省财政收入比2013年增长8.9%，2015年比2014年增长9.5%，若2013年和2015年我省财政收入分别为a亿元和b亿元，则a、b之间满足的关系式为（ ）
A．b=a（1 8.9% 9.5%）B．b=a（1 8.9%×9.5%）C．b=a（1 8.9%）（1 9.5%）D．b=a（1 8.9%）2（1 9.5%）
【解析】根据2013年我省财政收入和2014年我省财政收入比2013年增长8.9%，求出2014年我省财政收入，再根据出2015年比2014年增长9.5%，2015年我省财政收为b亿元，即可得出a、b之间的关系式．
解：∵2013年我省财政收入为a亿元，2014年我省财政收入比2013年增长8.9%，
∴2014年我省财政收入为a（1 8.9%）亿元，
∵2015年比2014年增长9.5%，2015年我省财政收为b亿元，
∴2015年我省财政收为b=a（1 8.9%）（1 9.5%）；故选C．
【例2】小明去银行存入本金1000元，作为一年期的定期储蓄，到期后小明税后共取了1018元，已知利息税的利率为20%，则一年期储蓄的利率为（ ）
A．2.25%B．4.5%
C．22.5%D．45%【解析】设一年期储蓄的利率为x，根据税后钱数列方程即可．
设一年期储蓄的利率为x，根据题意列方程得：
1000 1000x（1-20%）=1018，
解得x=0.0225，
∴一年期储蓄的利率为2.25%，故选A．
● 方法突破
方案选择问题(1)
● 典例探究
【例1】某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机．已知该厂家生产3种不同型号的电视机，出厂价分别为A种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元．
（1）若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案．
（2）若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，销售一台C种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方案？
【解析】按购A，B两种，B，C两种，A，C两种电视机这三种方案分别计算，设购A种电视机x台，则B种电视机y台．
（1）①当选购A，B两种电视机时，B种电视机购（50-x）台，可得方程1500x 2100（50-x）=90000即5x 7（50-x）=300，2x=50，x=25，50-x=25
②当选购A，C两种电视机时，C种电视机购（50-x）台，可得方程1500x 2500（50-x）=900003x 5（50-x）=180，x=35，50-x=15③当购B，C两种电视机时，C种电视机为（50-y）台．可得方程 2100y 2500（50-y）=9000021y 25（50-y）=900，4y=350，不合题意
由此可选择两种方案：一是购A，B两种电视机各25台；二是购A种电视机35台，C种电视机15台．
（2）若选择（1）中的方案①，可获利150×25 200×25=8750（元）若选择（1）中的方案②，可获利150×35 250×15=9000（元）9000>8750。故为了获利最多，选择第二种方案．
● 方法突破
这类问题根据题意分别列出不同的方案的代数式，再通过计算比较结果，即可得到满足题意的方案，需要注意的是要留意题目中的方案要求，常见的是要求利润最大，但是有时也有要求消库存最多或者最节约成本，要注意审题，不可犯惯性错误。
方案选择问题（2）
● 典例探究
【例1】某班准备购置一些乒乓球和乒乓球拍，班主任李老师安排小明和小强分别到甲、乙两家商店咨询了同样品牌的乒乓球和乒乓球拍的价格，下面是小明、小强和李老师的对话．
小明：甲商店乒乓球拍每副定价30元，乒乓球每盒定价5元，每买一副乒乓球拍可以赠送一盒乒乓球．
小强：乙商店乒乓球和乒乓球拍的定价与甲商店一样，但乙商店可以全部按定价的九折优惠．
李老师：我们班需要乒乓球拍5副，乒乓球不少于5盒．
根据以上对话回答下列问题：
（1）当购置的乒乓球为多少盒时，甲、乙两家商店所需费用一样多？
（2）若需要购置30盒乒乓球，你认为到哪家商店购买更合算？（要求有计算过程）
【解析】（1）根据题意可设当购买乒乓球x盒时，两种优惠办法付款一样，列出一元一次方程解答即可．
（2）求出当购买30盒乒乓球时，甲、乙两家商店各需要多少元，据此即可解答．
（1）设当购买乒乓球x盒时，
甲店：30×5 5×（x-5）=5x 125，
乙店：90%（30×5 5x）=4.5x 135，
由题意可知：5x 125=4.5x 135，
解得：x=20；即当购买乒乓球20盒时，甲、乙两家商店所需费用一样多．
（2）当购买30盒乒乓球时，
去甲店购买要5×30 125=275（元），
去乙店购买要4.5×30 135=270（元），
所以去乙店购买合算．
● 方法突破
解决最佳选择问题的一般步骤：1、运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况；2、用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解得值，分别代入两种方案中计算，比较两种方案的优劣后下结论。
分配问题
● 典例探究
【例1】学校分配学生住宿，如果每室住8人，还少12个床位，如果每室住9人，则空出两个房间。求房间的个数和学生的人数。
解：设房间数为x个，则有学生8x 12人，于是8x 12=9(x-2)解得：x=30则：8x 12=252答：房间数为30个，学生252人。
【例2】某工人原计划在限定的时间内加工一批零件，如果每小时加工10个零件，就可以超额完成3个；如果每小时加工11个零件，就可以提前1小时完成．问这批零件有多少个？按原计划需多少小时完成？
【解析】先设原计划规定的期限为x小时，由“如果每小时做10个零件，就可以超额完成3个零件”，可知零件的总数是10x-3，再由“每小时做11个零件，就可以提前1小时完成任务”，可知零件的总数是11x-11，由此可得出一个等量关系式10x-3=11x-11，解答出来即可．
设规定的期限为x小时，由题意可得：
10x-3=11x-11，
10x-11x=3-11，
- x = -8，
x=8．
零件的总数是：10x-3=10×8-3=77．
答：这批零件有77个，按原计划需8小时完成．
● 方法突破
这类分配问题中往往有两个不变量，一般为参与分配的人数和被分配的物品数量，抓住这两个不变量，用不同的代数式表示不同的分配方式，然后利用总数相等建立等量关系，问题也就迎刃而解了。
有规律的相邻数问题
● 典例探究
【例1】一组数列1、4、7、10、…，其中有三个相邻的数的和为66，求这三个数．
【解析】观察数列易得这个数列后面的数比它前面的数大3，设第一个数为x，表示出其余两数，根据3个数相加等于66，列出方程，解方程即可．
设第一个数为x，则第二个数为x 3，第三个数为x 6，
依题意有：x x 3 x 6=66，
解得x=19．
答：这三个数分别为：19、22、25．
【例2】有一列数，按一定规律排成1，-2，4，-8，16，-32，…，其中某三个相邻数的和是3072，则这三个数中最小的数是 ．
【解析】观察数列不难发现后一个数是前一个数的-2倍，然后设最小的数是x，表示出另两个数，再列出方程求解即可．
∵-2=1×（-2），4=（-2）×（-2），-8=4×（-2），16=（-8）×（-2），-32=16×（-2），…，
∴设第一个数是x，则后面两个数分别为-2x，4x，
由题意得，x-2x 4x=3072，
解得x=1024，
即这三个数是1024，-2048,4096．
故最小的数为-2048．
● 方法突破
（1） 首先我们要熟悉数字问题中一些常用的表示：例如n可以表示任意整数，那么三个连续的整数可以表示为n-1，n，n 1或者n，n 1，n 2等形式；偶数常用2n表示,奇数常用2n 1或2n-1表示。（2） 如果所给的数列是有一定规律的数列，我们关键要找到这列数字的规律，然后用相应的代数式表示出相邻数，再列方程求解。
数学大师：shuxueds
