我们从幼儿园开始接触数字时就知道，1 1=2。可是你有没有想过为什么1 1=2呢？

也许你会认为这不就是加法的定义吗？这还需要去证明吗？可是很遗憾，答案是否定的，这确实是需要证明的。加法从来没有定义过1 1=2，这个结论是严格证明出来的！

真正的数学底层逻辑远没有你想象得那么简单，我们所有的数学结论除了公理和定义以外，全都是通过严格的逻辑推导证明出来的，没有任何例外。

接下来我们就来详细讨论一下为什么1 1=2？

要想解释清楚这个问题，我们首先要知道最原始的定义是什么？什么是自然数集？什么是加法？

我们现在公认的体系是意大利著名数学家皮亚诺提出的皮亚诺公理：

皮亚诺公理定义自然数集N的五条公理如下：

（1）0是自然数；

（2）每一个确定的自然数a，都具有确定的后继数a'，a'也是自然数；

数a的后继数a'就是紧接在这个数后面的整数。

定义0'=1，1'=2，2'=3，……

（3）0不是任何自然数的后继数；

（4）不同的自然数有不同的后继数，如果自然数b、c的后继数都是自然数a，那么b=c；

（5）设集合S是自然数集N的子集，且满足两个条件

①0∈S

②如果n∈S，那么n'∈S

则S=N

特别强调：公理（5）也叫归纳公理，这条公理保证了数学归纳法的正确性，其含义是指如果某个结论对a=0成立，再假设这个结论对a∈N成立，能够推出这个结论对a'也成立，则说明这个结论对所有a∈N都成立。

皮亚诺公理对加法的定义如下：

加法满足以下两种规则的运算：

（1）任意m∈N，0 m=m

这里需要强调的是，定义只规定了0 m=m，并没有规定m 0=m，

在还没有严格证明加法交换律之前，两者是有本质区别的。

（2）任意m，n∈N，n' m=(n m)'

好了，有了以上公理，我们现在可以证明1 1=2了。

证明：1 1=2

根据公理（2）定义，,0'=1

1 1=0' 1

根据加法法则（2）

0' 1=(0 1)'

根据加法法则（1），0 1=1

(0 1)'=1'

再根据公理（2）定义，1'=2

也就是说

1 1=0' 1=(0 1)'=1'=2

1 1=2

证毕！

至此，我们终于严格证明了1 1=2。

也许你会认为这样做很无聊，但整个严密的数学大厦就是通过这些最基础的结论一步步建立起来的。

我们再来证明一个复杂一点的结论：加法结合律

证明：任意a，b，c∈N，(a b) c=a (b c)

①当a=0时：(a b) c=(0 b) c=b c=0 (b c)=a (b c)，命题成立

②对于任意a∈N，假设(a b) c=a (b c)成立，那么

(a' b) c=(a b)' c=[(a b) c]'=[a (b c)]'=a' (b c)

命题同样成立

根据公理（5）归纳公理

加法结合律(a b) c=a (b c)，对任意a，b，c∈N都成立

证毕！

类似地我们还可以证明加法交换律：

任意m，n∈N，m n=n m

我们还可以定义乘法运算法则

（1）任意m∈N，m×0=0

（2）任意m，n∈N，m×n'=m×n m

进而证明乘法分配律：m×(a b)=m×a m×b

乘法结合律：a×(b×c)=(a×b)×c

乘法交换律：a×b=b×a

再然后，我们就可以证明减法和除法的运算法则，我们熟悉的四则运算法则就这样一步步建立起来了。

最后，写这篇文章的目的很简单，希望大家明白学习数学不是想当然的认为这是很明显的结论，每一步都要问问为什么，一定要有严谨治学的学习态度。