如果没有计算器的话,还是下面的估计快些.

注意,这里是至多哟,因为是估算,说不定前面的某项已经达到了呢.那么我们能不能找到一个办法精确地算出是第几项呢?

这个可是因难呢,可以说到目前为止,也没有很好的办法达到精确的估计,不过有我们可以对这个问题的一般情形,可以找到较为精确的估计:

1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 …

通过绘制y=ln(1 x)和y=x的图象,不难发现x>ln(1 x)

则有

S=1 1/2 1/3 … 1/n

>ln(1 1) ln(1 1/2) ln(1 1/3) ... ln(1 1/n)

=ln2 ln3/2 ln4/3 ... ln((n 1)/n)

=ln(2*3/2*4/4*...(n 1)/n)=ln(1 n),

实际上,还可以证明:

S=1 1/2 1/3 … 1/n<lnn 1,

可以看出,

ln(n 1)<1 1/2 1/3 … 1/n <lnn 1,

那就是说1 1/2 1/3 … 1/n与lnn接近,两者会不会有差别,差别有多大呢?

Euler第一个证明,即使n充分大,两者也不会相等,会差着一个常数C,这个常数是

C=0.57721566490153286060651209......

吊诡的是,直到今天,人们还没有弄清这个Euler常数C是什么样的数?它是无理数还是有理数不清楚(一般倾向认为C是无理数),更遑论代数数及超越数的判定了!

目前尚不知道欧拉常数是否为有理数，但是分析表明如果它是一个有理数，那么它的分母位数将超过10的242080次方.

上述问题被称为调和数列的求和,由此派生出来的Euler常数,在高等数学中甚有作用.

看下一个问题:

2.小红爱吃披萨饼,第一天她独享一只披萨,但以后每天来的人按天数的平方递增(即第n天来了n×n人), 若每天按人数均分披萨,问小红累计吃到的披萨会超过两只吗?

乍看一下,好象可以用调和数列求和的方法来解决小红的问题,果真是这样吗?

小红获得的蛋糕: