∵ PA⊥PB，

∴ ∠APB = 90°，

∵ AO=BO，

∴ AB = 2PO，

若要使 AB 取得最小值，则 PO 需取得最小值，

连接 OM，交 ⊙M 于点 P′，当点 P 位于 P′ 位时，OP′ 取得最小值，

过点 M 作 MQ⊥x 轴于点 Q，

则 OQ = 3、MQ = 4，

∴ OM = 5，

又 ∵ MP′ = 2，

∴ OP′ = 3，

∴ AB = 2OP′ = 6．

【例题 4】如图，点 P 是边长为 1 的菱形 ABCD 对角线 AC 上的一个动点，点 M、N 分别是 AB、BC 边上的中点，则 MP PN 的最小值是（ ）

A.1/2

B.1

C.√2

D.2

【答案】B．

【分析】解：如图，作点 M 关于 AC 的对称点 M′，连接 M′N 交 AC 于 P，

此时 MP NP 有最小值，最小值为 M′N 的长．

∵ 菱形 ABCD 关于 AC 对称，M 是 AB 边上的中点，

∴ M′ 是 AD 的中点，

又∵ N 是 BC 边上的中点，

∴ AM′∥BN，AM′=BN，

∴ 四边形 ABNM′ 是平行四边形，

∴ M′N = AB = 1，

∴ MP NP = M′N =1，即 MP NP 的最小值为 1．