分位数-分位数图（Quantile-Quantile Plot），简称Q-Q图，是一种分析数据的图形化工具，常用于确定两组数据是否来自共同分布的总体。

这篇文章将从如下几个方面介绍Q-Q图：

①什么是分位数？

②如何绘制Q-Q图？

③什么是正态概率图？（一种特殊的、常用的Q-Q图。）

④正态概率图的参考线

⑤如何识别数据的偏态性

01 什么是分位数

Q-Q图是一组数据的分位数与另一组数据分位数的对比图。在Q-Q图中，「分位数」是一个重要概念。所以，我们先了解下什么是分位数？

分位数，是将概率分布的范围划分为概率相等的连续区间，或以相同方式划分样本中的观测点的值。常用的四分位、十分位和百分位。

1）四分位

假设现有9个数据，从小到大排列如下，现在求其四分位数。

1.1、3.2、4.1、6.5、9.8、10.9、13.2、15.3、16.4 （升序排列）

① 第一四分位数

a.先求秩

共有9个数据，第一四分位的秩为：(9 1)/4=2.25，说明第一四分位数位于第2个和第3个数据之间，也就是在3.2和4.1之间。

b.再求数

知道了第一四分位数的区间，但具体为多少呢？可以使用下面的方法求得：

可见，第一四分位分数是3.875。注意：这个数并不在数据集中。

② 第二四分位数（也就是：中位数）

同样，先求秩为：(9 1)*(2/4)=5。从数据集的开头往下数到第五个数据是9.8，所以第二四分位数是9.8。

③第三四分位数

先求秩：(9 1)*(3/4)=7.5，说明数据在第7个数据和第8个数据之间，按照下列方法可求得为：14.25。

2）十分位数

拿标准正态分布来举例。把标准正态分布分成10等分，计算出其Z值。如下图所示。

在标准正态分布中，左侧和右侧相对要矮而宽，而中间部分则是高而窄，但①-⑩区域的面积是一样的，概率是一样的，都等于0.1。所有区域累计起来的概率是1。

其中，第一个十分位数是-1.28，第二个十分位数是-0.84…第九个十分位数是1.28。

3）百分位数

这也是一种常用的方法，计算方法和四分位的计算类似。利用Minitab和Excel很容易求得。

02 如何绘制Q-Q图

Q-Q图由横轴（X轴）和纵轴（Y轴）组成，其中：

横轴（X轴）: 第一组样本的数据

纵轴（Y轴）：第二组样本的数据

Q-Q图中，不绘制实际的分位数，而是以各自数据为单位来绘制的。但，Q-Q图中的所有点对应的X轴和Y轴的数据，都具相同分位数。

判断两组样本数据是否来自相同总体的判据：所有点落在一条直线上（或非常靠近），那么可以认为两组数据具有相同的分布（来自同一总体）。

下面举例说明。

现在有三组数据。分别是：（以下四个样本都是25个数据）

①从服从标准正态分布N（0,1）的总体中抽取两组大小为25的样本数据，具体为下表蓝色和浅橙色所在列的数据。

②从服从正态分布N(5,3)的总体中抽取一组大小为25的样本数据，具体为下表灰色所在列的数据；

③从服从尺度为0.8，阈值为0的指数分布中抽取一组大小为25的样本数据，具体为下边浅绿色所在列的数据。