《微积分及其应用》和《多元微积分及其应用》封面
作者 | 林开亮
今年6月，科学出版社出版了 Lax & Terrell 的《多元微积分及其应用》中译本，这是《微积分及其应用》（中译本由科学出版社2018年出版）的续篇。考虑到《微积分及其应用》颇受读者欢迎，作为译者，我们这里对这两卷书略作介绍，希望有助于大家更好地了解它们。
当今之世，Lax 与 Serre 可以说是当时最高寿（今年两位均94岁，Lax略长）的大数学家。非常巧的是，两位都是 Wolf 奖、Abel 奖得主，而且两位都非常擅于写书。Serre 的书《数论教程》、《有限群的线性表示》中译本列入高等教育出版社“丘成桐数学翻译丛书”；Lax 的书《线性代数及其应用》和《泛函分析》中译本均列入人民邮电出版社“图灵丛书”。不过这几本教材都面向数学专业的研究生。我们这里所介绍的微积分教材则面向本科生，尤其是非数学专业的本科生。
《泛函分析》封面
早在1976年，Lax 就与他的妻子 Anneli 一起写了一本微积分教材，后于1980年由人民教育出版社出版其中译本《微积分及其应用与计算》。如 Lax于2005年在接受 Abel 奖的访谈中所透露的：“在我的微积分书中，代替逐点连续性，我提倡一致连续性……我也有许多其他想法，我还想重写我的微积分教材，我在找一位好的合作者。”Lax 找到的合作者就是康奈尔大学数学系的Terrell，他们重写的教材即《微积分及其应用》与《多元微积分及其应用》，均收入斯普林格出版社的品牌丛书——本科生数学教材(UTM)，分别于2014年与2017年出版。顺便说一句，UTM 与其姊妹 GTM（研究生数学教材，Serre的两本教材就属于该系列）是两套非常有影响力的数学丛书，国内世界图书出版公司引进了其影印版，对于当代的大学生和研究生来说，直接阅读英文版应该没有困难。而世界图书出版公司近期组织翻译了UTM丛书中的几本名著，分别是：钟开莱的《初等概率论》与《随机积分导论》，沙法列维奇的《代数教程》(此书高中生就可以阅读)、Stephen Abbott的《分析入门》与杜武亮的《流形导引》（此书我也参与翻译）。
六年前，当我在为大一新生上高等数学（一个更好的称谓是“微积分”）而备课时，发现了 Lax & Terrell 的《微积分及其应用》，如获至宝。于是邀请昔日的好友一起翻译此书，两卷书前后共译五年。作为译者，我们从中也受益匪浅。下面就简单谈谈我对这两卷书的认识。
Lax 强调对理论与应用的结合。在理论方面，这两卷书不拘泥于琐碎细节，利用一些方便常用的定义（如一致连续与一致收敛、光滑有界集）简化了对定理的理解与证明。这在第二卷《多元微积分及其应用》尤其显著。众所周知，对多元函数的教学，两个紧密相关的重点和难点是：1、曲线积分与曲面积分；2、格林定理、散度定理与斯托克斯定理。借助于向量分析的语言，Lax & Terrell 在《多元微积分及其应用》第七、八章将这两部分内容作了简单明了的阐述。我们相信，想要对这些内容获得清晰认识的读者，是绝不会失望的。说到这里，我联想起台湾中央研究院数学所前所长刘太平教授在《数学传播》的一篇专访中指出的教学问题：“我们教书有太多的东西要教，比如微积分, 当 Stokes 定理都学过了, 但却连较初等的, 像 divergence (散度)代表什么，常没有时间仔细想过。” Lax & Terrell 在《多元微积分及其应用》第3.5节就专门介绍了散度与旋度。（顺便提一句，受到这一节内容的启迪，我与另一位译者吴艳霞在一篇即将发表的小文中解释了为何不在高维空间提旋度的概念：因为除了三维空间与七维空间以外，其他维数的欧氏空间没有合适的旋度。）
在应用方面，Lax 举了许多来自生活与物理的例子。例如，很突出的一个例子，第一卷最后一章讲到了概率，在第二卷积分举例时又提及概率密度函数(pdf)的重要概念，进而在最后一章偏微分方程举例时提到了薛定谔方程以及量子力学的概率解释。另一个典型的例子，是从万有引力定律推导开普勒三定律，这是牛顿的伟大功绩之一。讲到这里，我想分享另一位 Abel 奖得主 I. Singer 的第一次邂逅数学的经历（见即将出版的《数学与物理》，高等教育出版社“数学与人文”丛书第31辑）：“我高中时就对科学感兴趣，并获得密歇根大学的奖学金。在密歇根的头一年，我觉得没有什么挑战性，很失望，当一天和尚撞一天钟，直到在微积分的课堂上，我们的老师讲到牛顿如何从他的平方反比定律推导出行星的椭圆轨道。我感觉到，奇妙的事情发生了，这是富有智慧与美妙的事情！我现在仍然能感受这一点，而且常常跟那些门外汉说：‘只要想一想人类智慧是何等的卓越；在一张纸上就可以演算出行星的轨道！’真是令人难以置信，事实上恰当的说应该是，令人敬畏。我为那个推导感到激动；这加强了我投身科学的决定。”我想，我们的微积分课堂尤其需要这样激动人心的例子。Lax & Terrell 的教材就是一个丰富的矿藏。
这两本书有大量的习题，并且书后有部分习题的答案。其中有许多习题都是有趣的，尤其值得一提的是，在第二卷的练习2.55，作者引导读者去证明代数基本定理（要知道，这结果可是大数学家高斯1799年博士论文的主题）！
我想还应该指出，考虑到我们的许多大一新生在高中对三角函数的学习并不系统，而 Lax & Terrell 的第一卷专辟章节讲三角函数，因此《微积分及其应用》会成为新生学习微积分的绝佳伴侣。
最后，我要特别说明，自《微积分及其应用》中译本出版后，我们又发现不少可以改进或改正的地方，因此特别列出一个勘误清单（后台回复Lax可直接下载），供读者参考。欢迎大家多提宝贵意见。
第一卷出版有热心朋友在知乎上做了宣传，见这里https://zhuanlan.zhihu.com/p/40274687。
确实，诚如这位朋友指出的，“这本书要说有什么缺点，那就是定价178元实在贵得离谱。”其实我们所有译者看到这个定价都觉得超出我们的想象，第二卷更是定价高达188元。于我们译者而言，翻译这两卷书我们其实没有多少稿酬，实际上还掏了七八万给出版社引进中译本版权（感谢我的恩师曾慷慨解囊赞助出版）。我们为什么要做这种事情呢？因为我们只想让大家看到Lax的新书，希望对大家有益。我们所有译者，并不希望出版社定价这样高，因为这偏离了我们的初衷——让更多的人读到这两本书！我写本文也不是要吹捧这两本书，我的见解与知乎上这位朋友一样：Lax的书，无须我多言！我只希望大家知道，学习微积分有这么两本书，多一个选择。
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