积分和微分是一对互逆运算，这是微积分最核心的思想。把这个思想用数学语言描述出来就会得到一个定理，这个定理叫微积分基本定理。

这也是牛顿和莱布尼茨在微积分里最重要的发现，因此，微积分基本定理又叫牛顿-莱布尼茨公式。一个定理能够被称为XX基本定理，能够让这个领域的两个发明者直接冠名，这意味着什么，相信大家心里都有数。

那么，这句话到底是什么意思呢？说求面积（积分）和求导（微分）是一对互逆运算到底是在说什么？甚至，什么叫互逆运算？为什么发现“积分和微分是互逆的”这个事情这么重要？

什么是互逆运算？这里我们不去细扣它的定义，就直观地感受一下。从名字来看，互逆互逆，那应该就是有两种运算，一种能够把它变过去，另一种又可以把它变回来。

最常见的就是加法和减法：3 2=5，5-2=3。3加上2可以变成5，反过来，5减去2又可以变回3，所以加法和减法是一对互逆运算，这很好理解。

那么，当我们在说“求面积（积分）和求导（微分）是一对互逆运算”的时候，那就是说如果有一个东西，我们对它进行积分操作（求面积）可以得到一个新东西，如果我们对这个新东西再进行微分操作（求导）又能得到原来的那个东西，这样才算互逆。

下面我给大家举一个简单的例子，让大家直观地感受下为什么积分和微分是互逆的。

大家发现没有：这其实就是积分的过程。前面求曲线围成的面积的时候，我们就是把曲线围成部分的x轴平均分成很多矩形，然后把每个矩形的面积都加起来。这里求家到学校的总距离，一样是把家到学校的时间平均分成很多份，然后把每个小份的距离都加起来。

都是把一个大东西（家到学校的总距离，曲线围成的总面积）平均切成很多份，然后每一小份都用一个新的东西（每一分钟的距离，每一个矩形的面积）去近似，最后再把所有的小份东西加起来去逼近原来的大东西。

求面积的时候，矩形的数量越多，矩形的面积之和就越接近真实面积。同样的，我们把家到学校的10分钟分得越细（例子里只分了10份，我们可以分100份，1000份甚至更多），得到的总距离就越精确。

另外，我们把时间段分得越细，每个小时间段里的平均速度就越接近瞬时速度，如果无穷细分，那么无穷小时间段里的平均速度就可以认为就是瞬时速度了。

也就是说，如果知道整个过程中的瞬时速度（或者说是无穷小时间段内的速度），我们就能精确地求出无穷小时间段内的距离，然后把所有距离加起来得到精确的总距离，这就是积分。也就是说，通过积分过程，我们能从瞬时速度求出总距离。

另一方面，要证明微分（求导）是这个过程的逆运算，我们就得证明从总距离可以求出瞬时速度。也就是说，如果已知任意时刻你从家到学校的距离，你通过微分（求导）能把瞬时速度求出来。

这不是显而易见的事么？距离对时间求导，这就是速度啊，前面我们也说了“导数是一种广义的速度”。也就是说：距离除以时间，结果就是速度。你用平均距离除以平均时间得到平均速度，用瞬时距离（某一时刻的距离）除以瞬时时间（无穷小时间片段）自然就得到了瞬时速度。

这样不就完了么，通过积分，我们能从瞬时速度求出总距离来；通过微分，我们能从总距离求出瞬时速度，这就说明积分和微分是一对互逆运算。

微分积分互逆的思想是很自然的，因为整体和部分的辩证统一是自然界最普遍的特性。