教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法

教学过程：

一、二阶常系数齐次线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程: 方程

y¢¢ py¢ qy=0

称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p、q均为常数.

如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y=C1y1 C2y2就是它的通解.

我们看看, 能否适当选取r, 使y=erx 满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y=erx代入方程

y¢¢ py¢ qy=0

得

(r 2 pr q)erx =0.

由此可见, 只要r满足代数方程r2 pr q=0, 函数y=erx就是微分方程的解.

特征方程: 方程r2 pr q=0叫做微分方程y¢¢ py¢ qy=0的特征方程. 特征方程的两个根r1、r2可用公式

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求出.

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(3)特征方程有一对共轭复根r1, 2=a±ib时, 函数y=e(a ib)x、y=e(a-ib)x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解. 函数y=eaxcosbx、y=eaxsinbx是微分方程的两个线性无关的实数形式的解.

函数y1=e(a ib)x和y2=e(a-ib)x都是方程的解, 而由欧拉公式, 得

y1=e(a ib)x=eax(cosbx isinbx),

y2=e(a-ib)x=eax(cosbx-isinbx),