提要

等腰三角形是最常见的图形，由于它具有一些特殊性质，因而在生活中被广泛应用。等腰三角形的性质，特别是它的两个底角相等的性质，可以实现一个三角形中边相等与角相等之间的转化，也是今后论证两角相等的重要依据之一。等腰三角形“三线合一”是今后论证两条线段相等及线段垂直的重要依据。遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题。同时，要注意在底和腰没有明确的条件下需分类讨论。

知识全解

一．定义

有两条边相等的三角形称为等腰三角形，其中相等的两条边称为等腰三角形的腰，另一条称为底边，两腰的夹角称为顶角，腰和底边的夹角称为底角。

二．性质

（1） 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴。

（2） 等腰三角形两底角相等

（3） 等腰三角形底边上的高线，中线，顶角平分线重合（简称“三线合一”）

三．判定

有两个角相等的三角形是等腰三角形，简称“等角对等边”

方法点拨

类型1 三线合一性质应用

例1 如图所示，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE。求证：AD=AE

【分析】根据等腰三角形的“三线合一”性质，过顶角的顶点作底边上的高

【解答】过点A作AF⊥BC于点F，

∵AB=AC

∴BF=CF

又∵BD=CE

∴DF=EF

∴AD=AE

【总结】等腰三角形三线合一是等腰三角形的重要性质，在解答有关等腰三角形问题时如果知道三线中的“一线”，就可以得出其他“两线”，但要注意使用条件和使用规范。如果没有给出三线中的一个，则可以通过条件辅助线的方法构造出相应图形。

类型2 方程思想求角度

例2 如图所示，在△ABC中，D是边BC上的一点，AD=BD，AB=AC=CD，求∠BAC的度数

【分析】由AD=BD得∠BAD=∠DBA，由AB=AC=CD得∠CAD=∠CDA=2∠DBA，∠DBA=∠C，从而可推出∠BAC=3∠DBA，根据三角形的内角和定理即可求得∠DBA的度数，从而不难求出∠BAC的度数。

【解答】∵AD=BD

∴设∠BAD=∠DBA=x

∵AB=AC=CD

∴∠CAD=∠CDA=∠BAD ∠DBA=2x，∠DBA=∠C=x

∴∠BAC=3∠DBA=3x

∵∠ABC ∠BAC ∠C=180

∴5x=180

∴∠DBA=36

∴∠BAC=3∠DBA=108

【总结】本题根据等腰三角形性质得出相等的角，再结合三角形内角和，外角性质列出方程求解。

类型3 等角三角形的判定

例3 如图所示，AD平分∠BAC，BD⊥AD，DE‖AC，求证：BE=DE

【分析】由AD平分∠BAC，得出∠EAD=∠CAD，DE‖AC，得出∠CAD=∠ADE，进一步得出∠EAD=∠ADE，再进一步利用等角的余角相等得出∠BDE=∠B，证得结论。

【解答】∵AD平分∠BAC

∴∠EAD=∠CAD

∵DE‖AC

∴∠CAD=∠ADE

∴∠EAD=∠ADE

∵BD⊥AD

∴∠ADE ∠BDE=90

∴∠EAD ∠B=90

∴∠BDE=∠B

∴BE=DE

【总结】证明线段相等，如果要证明的两条线段在同一个三角形中，通常考虑根据“等角对等边”来证明