南宋数学家秦九韶(约1202～1261)的著作《数书九章》第三章田域类有一道题目(沙田求积):

问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里。里法三百步，欲知为田几何？

秦九韶独创三斜求积术，解决了这类已知不等边三角形的三边边长，求面积的问题。

解决此类问题，西方数学家常用海伦(约公元50年)公式，中国独创秦九韶公式。这两种公式是等价的。

解这个题目还有一种方法，即求高法。

三斜求积术

用公式法可以直接把数据代入公式，计算出三角形的面积。用求高法是以一条边为底边，从对角顶点向底边作垂线，把任意三角形划分为两个直角三角形，再求高即得三角形的面积。

先讨论用三斜求积术如何解决问题。

已知任意三角形的三边边长，把数据代入公式，就求出面积。这就是南宋数学家秦九韶创造的三斜求积术。

《数书九章》给出的答案和解法如下:

答曰:田积三百一十五顷。

术曰:以少广求之。以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上。以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实。一为从隅，开平方，得积。

看不懂术文？那就请看用现代数学符号改写成的秦九韶公式，如下图所示:

秦九韶的三斜求积术给出了一般的计算公式，是对几何学的一大贡献。但由于诸多原因，秦九韶的原始证明已经失传。如何根据中国几何的特色补出秦九韶公式的证明，是众多学者研究探讨的热点。

著名数学家吴文俊(1919～2017)在《出入相补原理》一文中，给出了一个漂亮的补证。在欣赏吴文俊的证明之前先介绍《九章算术》中研究直角三角形的一个成果。吴文俊先生以古人的研究成果为引理，巧妙地推导出秦九韶公式，古韵古风，简朴自然。

《九章算术》有这样一道勾股定理的简单应用题:

折竹求高

今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺。问折者高几何？

答曰:四尺二十分尺之十一。

答案是怎样计算出来的呢？请看下图:

为了解决上面提出的折竹求高的问题，古人推导出一个常用的公式，推导过程请看下图，结论就是公式(4)。