20世纪70年代，数学界广泛关注的主题有两个，一个是混沌理论，即所谓的非线性动力学。这个主题由微积分发展而来。另一个是复杂系统，它具有不那么正统的思维方式，并刺激新的数学和新的科学。

牛顿的自然数学原理哲学把世界的体系简化为微分方程，而这些微分方程是“决定论”的。也就是说，一旦知道了系统的初始状态，它的未来就一直是唯一确定的。这是一种没有给自由意志留下任何余地的理论。但同时，它也为我们带来了收音机、电视、雷达、移动电话、商用飞机、通信卫星和计算机等。

科学决定论的发展还伴随着一种模糊但根深蒂固的复杂性守恒观念。这是“简单的原因必然产生简单的结果”的假设，也意味着复杂的结果必然有复杂的原因。这种观念使我们想知道复杂系统的复杂性从何而来。例如，既然生命一定起源于一个没有生命的星球，那么它的复杂性是从哪里来的呢？我们很少想到复杂性可能会自动出现，但这正是数学所表明的。

从拉普拉斯到庞加莱

物理定律的确定性来源于一个简单的数学事实：在给定的初始条件下，微分方程至多只有一个解。拉普拉斯总结了决定论的数学观点：

一个在任何时候都知道自然界万物的动力和万物的相互位置的智能，如果这个智能足够强大，它就可以把宇宙中最大的物体的运动和最轻的原子的运动浓缩成一个公式。对于这样一个智能来说，没有什么是不确定的，未来就像过去一样呈现在它的眼前。

具有讽刺意味的是，正是在天体力学（物理学中最明显的决定论部分）中，拉普拉斯的决定论才遇到挑战。1886年，瑞典国王奥斯卡二世为解决太阳系稳定性问题设立了一个奖项。太阳系会一直稳定地运行下去吗？或者会不会有一颗行星撞向太阳？能量和动量守恒的物理定律并没有阻止这两种可能性的发生，太阳系的详细动力学能提供更多的线索吗？

庞加莱下定决心要挑战这个问题，他仔细研究了一个更简单的问题，即三个天体的系统。三个物体的方程并不比两个物体的糟糕多少，而且一般形式也大体相同。但是，庞加莱的三体问题却出乎意料地困难，他发现了一些令人不安的事情。这些方程的解完全不同于二体方程的解。事实上，这些解是如此复杂，以至于无法用数学公式写下来。更糟糕的是，他对解的几何结构（更准确地说，是拓扑结构）有足够的了解，足以毫无疑问地证明，这些解所代表的运动有时可能是高度无序和不规则的。这种复杂性现在被视为混沌的典型例子。

大约60年后，对三体问题的研究引发了一场革命，改变了我们看待宇宙与数学的关系。

1926 年，荷兰工程师巴尔萨泽·范德波尔构建了一个模拟心脏的数学模型，并发现在某些条件下，产生的振荡不像正常心跳那样具有周期性，而是不规则的。后来，数学家在一项雷达电子学的研究中为范德波尔的研究提供了坚实的数学基础。

20世纪60年代初，美国数学家斯蒂芬·斯梅尔要求对电子电路的典型行为类型进行完整的分类，从而开创了动力系统理论的现代时代。起初，他认为答案是周期运动的组合，但很快意识到，更复杂的行为是可能的。特别是他发展了庞加莱在限制三体问题中的复杂运动的发现，简化了几何结构，产生了一个被称为“斯梅尔的马蹄”的系统。他证明了马蹄系统虽然是确定的，但也有一些随机的特征。

一个普遍的理论（混沌理论）开始出现。与此同时，混沌系统零星地出现在应用文献中。其中最著名的混沌系统是气象学家爱德华·洛伦兹在1963年提出的。洛伦兹准备建立大气对流模型，用含有三个变量的更简单的方程来近似这种现象的非常复杂的方程。在计算机上用数值方法求解这些问题时，他发现解以一种不规则的、几乎是随机的方式振荡。他还发现，如果变量的初值有稍微的扰动，那么结果就会大有不同。他在随后的讲座中对这一现象的描述引出了著名的“蝴蝶效应”。