在罗马对锡拉丘兹的围攻中，马塞勒斯将军以为知识无国界遂下令活捉阿基米德。遗憾的是，直到最后阿基米德也没将几何学原理传授给罗马人。

要么是阿基米德和历史学家失误了，要么是古希腊人比我们获知了更精确的π的近似值。对于给定的圆，“内接正多边形”是指其各顶点接触圆（位于圆的内部），“外切正多边形”是指其各边相切于圆（位于圆的外部）。阿基米德通过在圆内相接和圆外相切正九十六边形计算出圆的周长，以此获得π的近似值。想要确定π的值，可以由内接正多边形得出一个下限，而由外切正多边形得出一个上限。但问题就在于：阿基米德不仅找到了正九十六边形的周长，还发明了一种迭代算法可通过已给定n个角的图形周长来计算2n个边的图形的周长。也就是说，他从正六边形（六个角）开始，然后引导至12角，24角，48角，令人费解的事，最后他推导出96角后就不再继续了。很显然，他还有比计算出更多位数的π更重要的事要做。讲道理，这并不是一个非常精确的数值。但到此，他可能就宣称问题已得到解决了，因为任何人按照他的程序进行操作，都可以得到他们想要π的位数，然后继续投入热射线或类似的事物研究中去（说真的，当时的有钱人们甚至想制造太阳热射线来保卫锡拉库扎）。

每当人们运用阿基米德的迭代算法时，得出的π得近似值精确度都会提高约4倍（其收敛速率为1/4）。可事实上这并没有听起来那样令人振奋。因为每5次迭代就会得出小数点后约3数字。从六边形到96边形阿基米整整算了4次，最后将π精确到小数点后3位。如果他再辛苦一点，重新计算该过程（例如再重复10次），那么他将会将π精确到小数点后9位数。虽然这毫无用处，但觉得值得到处吹牛。

与现代计算方法得出的精确值相比，这些先辈们得出的近似值，不再让人感到骄傲。阿基米德运用技术线性收敛可得出π的精确值（每次使用该算法，得出的π的位数大致相同）。直到我们发明了二次收敛算法后，事情的发展才真正进入正题，二次迭代算法使已知π位数的数量翻倍。也就是说：如果你将π精确到十位数，那么在下一次迭代之后，你将得出π的二十位数。当今最快的算法莫过于非常规地收敛。（每一次计算将比前一步计算结果的精确九倍）。

π的定义为圆周长与圆直径之比，这使我们可以直接但不准确地对圆进行测量，抑或对其进行精确而但却毫无意义的计算。 π还有更抽象的属性（例如，它能无限不循环下去（事实确实如此）或其他任何具有可能性（也只是可能）的形式），但这些抽象属性需要的不只是直接粗暴的数字计算。想得出这些更为抽象的属性，就要立足于π的定义而不是其数值多少，忽略哪怕一个数字，我们可能得出结果但也可能被轻易推翻。在物质世界中数学的确很有用，但数学并不是“原本就生活在这里”。 虽然π具有物理意义，但是我们主要依据其数学特性来了解它。

答案很简单：古代人非常聪明，如果能他们能长生不老的化，他们很可能会一直算下去，知道算出来为止。而这就是阿基米德算法所蕴含的数学基础。老实说，这其实不是阿基米德的计算方式。所以很显然，古希腊数学家受到了错误理念的影响，即小词汇蕴含大玄机。因此，即使再翻译过后，他们的译文仍然像希腊文那样难以理解。

梅德斯先生的方法如下所示。如果In是内接正多边形的周长，而Cn是外部n边的周长，则：