近代科学的发展总是遵循这样的规律：观测（得到数据），在观测的基础上发现规律，称为定律，然后发明理论与相应的数学，证明这些定律是成立的（定理）。近代天文学的开山之作，开普勒三大定律是一个最为光辉的例子。

1599年，丹麦天文学家第谷·布拉赫（Tycho Brahe，1546－1601）在丹麦与瑞典间的汶岛开始建立“观天堡”，第一个用望远镜系统观测天文，直到1599年，第谷在这里工作20多年，得了一系列重要成果，1600年第谷与德国天文学家约翰尼斯·开普勒（Johannes Kepler，1571―1630）相遇，邀请他作为自己的助手，次年去世。可是第谷的大量极为精确的天文观测资料，为开普勒的工作创造了条件，他所编著经开普勒完成，于1627年出版的《鲁道夫天文表》（Rudolphine Tables）成为当时最精确的天文表。

可是当时不论是地心说还是日心说，都认为行星作匀速圆周运动。但开普勒发现，对火星的轨道来说，任何的方法都不能推算出同第谷的观测相吻合的结果。1609年他发现椭圆轨道完全适合要求，于是得出了“开普勒第一定律”：火星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳处于两焦点之一的位置。发现第一定律，就是说行星沿椭圆轨道运动。这实在是不可思议的事情。椭圆这种几何图形，在古希腊的伟大数学家阿波罗尼(Appollonius, 269-190B.C)的《圆锥曲线论》中完全是按照数学家的游戏规则，用平面去截圆锥体得到的一种几何图形（另外两种是抛物线和双曲线），做梦也想不到天体绕太阳的轨迹是一个椭圆。在所有人类的纯粹思维中，数学大概是最为科学的思维，而今也是最为有用的思维，不得不令人拍案惊奇。因为数学家的规则是如此简单，结论仅仅靠逻辑的几条明显的规则得出，最后竟然描述了大自然的物理世界。科学的巨大魅力从此引无数英雄竟折腰。自然的，我们不得不感慨的是，如果开普勒不幸生在中国，他就最多做一个他职业生涯的另一个角色：占星师，不大可能与天文学家有关，因为中国的古代数学中从来没有研究过椭圆。事实上在开普勒之前的所有天文学家，包括创立日心说的伟人哥白尼和伽利略都坚持古希腊亚里士多德和毕达哥拉斯的天体是完美物体的信念，而圆大约是最完美的几何形状，开普勒不是神仙，他一开始也是坚持行星轨道是圆或者圆的复合体。可是无论如何，结论总和第谷的观测不合，才转而考虑椭圆。在中国的古代数学中，研究的几何图形主要是三角形和圆，因为与丈量土地和制造车轮有关，一个实用主义民族在数学的研究中表露无遗。可是心里一直想应用，反而应用不了多少，唯物主义的辩证法就是这样的残酷无情。

开普勒很快又发现火星运行速度是不匀的，当它离太阳较近时运动得较快（近日点），离太阳远时运动得较慢（远日点），但从任何一点开始，向径（太阳中心到行星中心的连线）在相等的时间所扫过的面积相等。这就是开普勒第二定律（面积定律）。开普勒最后发现了行星运动的第三定律（谐和定律）：行星绕太阳公转运动的周期的平方与它们椭圆轨道的长轴（近日点与远日点的平均距离）的立方成正比。

我们把开普勒三定律总结如下：

1. 行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳处于两焦点之一的位置；

2. 行星在相等的时间所扫过的面积相等；

3. 行星绕太阳公转运动的周期的平方与它们椭圆轨道的长轴的立方成正比。

椭圆方程为动点到焦点的距离和为常数。数学上引入椭圆还有一个办法，就是给定三角形的底边和周长，问什么样的三角形的面积最大？显然的，底边外的顶点的所有可能的集合就是一个椭圆，且等腰三角形的面积最大。

这些伟大的定律已经预示着万有引力的到来。现在我们回到数学：椭圆的极坐标表示，这又离不开数学家的先驱工作，近代科学之所以发展，一个重要的原因是需要的时候，数学家已经准备好了。法国哲学家，数学家笛卡尔(Rene Descartes,1596-1650)在《几何学》中发明坐标几何，把几何图形代数化。代数可以运算，算出的结果再回到几何。例外当然也是有的，物理学家，应用数学家在没有现成数学的情况下只好自己发展数学，微积分对于牛顿就是一个著名的例子。如图一所示，

其中e 称为离心率，p 为参数。当e = 0 时候，就变成圆；e = 1 就是抛物线，e > 1 就得到双曲线。抛物线是令人信服的另一个几何图形。例如物体仅仅在重力的作用下，运动的轨迹为