等腰三角形底边上的动点到两腰的距离和等于腰上的高；底边延长线上的点到两腰的距离差等于腰上的高．

一、底边上的动点到两腰的距离和等于腰上的高；

例题1（顶角为锐角）、如图1，已知等腰△ABC中，AB=AC，点D为底边BC上一点，过点D作DE⊥AB、DF⊥AC，分别交AB、AC于点E、F，过点CG是腰AB上的高，求证：CG=DE DF．

方法一：（面积法，简单易懂）如图2，连接AD，易得△ABC的面积等于△ABD和△ACD的面积之和，∴1/2AB×CG=1/2AB×DE 1/2AC×AC=1/2AB(DE DF)，∴CG=DE DF．

方法二：（几何法，证三角形全等）如图3，过点C作CH⊥ED，交ED的延长线于点H，

∵∠B=∠ACB，在Rt△DBE和Rt△DCF中，∠EDB=∠FDC，又∵∠HDC=∠BDE，∴∠HDC=∠CDF（等量代换），在Rt△DHC和Rt△DFC中，∠H=∠DFC=90°，∴△DHC≌△DFC(AAS)，∴DF=DH，DE DF=DE DH，在矩形EHCG中EH=CG，∴CG=DE DF．

方法三：（几何法，证明三角形全等）过点D作DH⊥CG交CG于点H，在四边形DHGE中，∠DEG=∠EGH=∠DHG=90°，∴∠EDH=90°，∴∠EDB ∠CDF=90°，又∵∠B ∠EDB=90°，∴∠CDF=∠BDE，又∵DE//CG，∴∠BDE=∠BCG=∠CDF，在△DHC和△CFD中，CD为公共边，∠DHC=∠CFD=90°，∴△DHC≌△CFD(AAS)，∴CH=DF，又∵矩形DHGE中DE=GH，∴DE DF=GH CH=CG．

例题2（顶角为钝角）、如图1，在△ABC中，AB=AC，点D为底边BC上任意一点，过点D作DE⊥AB、DF⊥AC，分别交AB、AC于点E、F，过点C作CG⊥BA交BA的延长线于点G，求证：DE DF=CG．

方法一：（面积法）如图2，连接AD，可得△ABC的面积等于△ABD和△ACD的面积之和，即1/2AB×DE 1/2AC×DF=1/2AB×CG，∴1/2AB×(DE DF)=1/2AB×CG，∴DE DF=CG．

方法二：（几何法，通过证明三角形全等），如图3，过点B作BM⊥FD交FD的延长线于点M，过点C作CH⊥BM，交BM的延长线于点H，∵DF⊥AC，∴BM//AC，∴∠DBM=∠ACB=∠ABC，在△DBE和△DBM中，BD为公共边，∠DEB=∠DMB，∴△DBE≌△DBM，∴DM=DE，∴DE DF=FM，由题意得，在矩形MHCF中，FM=CH，又∵∠CBG=∠CBH，∴CG=CH（角平分线上的点到角两边的距离相等），∴DE DF=CG．

二、底边延长线上的点到两腰的距离差等于腰上的高．

例题3、（顶角为锐角）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D为底边BC延长线上一点，过点D作DE⊥AB、DF⊥AC，分别交AB和AC的延长线于点E、F，CG为腰AB上的高，求证：DE-DF=CG．

方法一：如图2，连接AD，可得△ABD的面积等于△ABC和△ACD的面积之和；即1/2AB×DE=1/2AB×CG 1/2AC×DF，∴1/2AB×DE=1/2AB×(CG DF)，即DE=CG DF，DE-DF=CG．

方法二：如图3，过点C作CH⊥DE，交DE于点H，易得∠DCH ∠BCG=90°，∠BCG ∠B=90°，∴∠DCH=∠B=∠ACB=∠DCF，∴△CDH≌CDF，∴DF=DH，矩形CHEG中可得CG=EH，∴DE=DH EH，即DE-DF=CG．

例题4（顶角为钝角），如图1，在△ABC中，AB=AC，点D在BC的延长线上，过点D作DE⊥AB、DF⊥AC，分别交AB的延长线和AC的延长线于点E、F，过点C作CG⊥BA交BA的延长线于点H，求证：DE-DF=CH．

方法一：如图2，连接AD，可得△ABD的面积等于△ABC和△ACD的面积之和，即1/2AB×DE=1/2AB×CH 1/2AC×DF，∴1/2AB×DE=1/2AB×(CH DF)，∴DE=CH DF，∴DE-DF=CH．

方法二：如图3，过点C作CG⊥DE，交DE于点G，AE⊥DE，∴CG//BE，∴∠DCG=∠B=∠ACB=∠DCF，在△CDF和△CDG中，∠CGD=∠F=90°，CD为公共边，∴△CDG≌△CDF，∴DF=DG，矩形CGEH中可得CH=EG，∴DE=EG DG=CH DF，即DE-DF=CH．

拓展一题：如图，点D为等边△ABC边BC上任意一点，过点D分别作DE⊥AB、DF⊥AC分别交AB、AC于点F，连接EF，求证：△AEF的周长与四边形BCFE的周长相等．