图一

例 2．解不等式|x-1|＞2．在数轴上找出|x-1|=2 的解（如图 1），因为在数轴上

到 1 对应的点的距离等于 2 的点对应的数为-1 或 3，所以方程|x-1|=2 的解为

x=-1 或 x=3，因此不等式|x-1|＞2 的解集为 x＜-1 或 x＞3．

图二

例 3．解方程|x-1| |x 2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上

到 1 和-2 对应的点的距离之和等于 5 的点对应的 x 的值．因为在数轴上 1 和-2

对应的点的距离为 3（如图 2），满足方程的 x 对应的点在 1的右边或-2的左边．若

x 对应的点在 1 的右边，可得 x=2；若 x 对应的点在-2 的左边，可得 x=-3，因

此方程|x-1| |x 2|=5 的解是 x=2 或 x=-3．

参考阅读材料，解答下列问题：

（1）方程|x 3|=4 的解为_______；

（2）解不等式：|x-3|≥5；

（3）解不等式：|x-3| |x 4|≥9．

解：（1）∵在数轴上到-3 对应的点的距离等于 4 的点对应的数为 1 或-7，

∴方程|x 3|=4 的解为 x=1 或 x=-7．

（2）在数轴上找出|x-3|=5 的解．

∵在数轴上到 3 对应的点的距离等于 5 的点对应的数为-2 或 8，

∴方程|x-3|=5 的解为 x=-2 或 x=8，

∴不等式|x-3|≥5 的解集为 x≤-2 或 x≥8．

（3）在数轴上找出|x-3| |x 4|=9 的解．

由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到 3 和-4 对应的点的距离之和

等于 9 的点对应的 x 的值．

∵在数轴上 3 和-4 对应的点的距离为 7，

∴满足方程的 x 对应的点在 3 的右边或-4 的左边．

若 x 对应的点在 3 的右边，可得 x=4；若 x 对应的点在-4 的左边，可得 x=-5，

∴方程|x-3| |x 4|=9 的解是 x=4 或 x=-5，

∴不等式|x-3| |x 4|≥9 的解集为 x≥4 或 x≤-5．

107．将 1，2，…，100 这 100 个正整数任意分成 50 组，每组两个数．现将每组两个数中的一个记为 a，另一个记为 b，代入 中进行计算，并求出结果．50 组都代入后，可求得 50 个值，求这 50 个值的和的最大值．

解：①若 a≥b，则代数式中绝对值符号可直接去掉，

∴代数式等于 a，

②若 b＞a 则绝对值内符号相反，

∴代数式等于 b

由此可见输入一对数字，可以得到这对数字中大的那个数（这跟谁是 a 谁是 b

无关）

既然是求和，那就要把这五十个数加起来还要最大，

我们可以枚举几组数，找找规律，

如果 100 和 99 一组，那么 99 就被浪费了，

因为输入 100 和 99 这组数字，得到的只是 100，

如果我们取两组数字 100 和 1 一组，99 和 2 一组，

则这两组数字代入再求和是 199，

如果我们这样取 100 和 99，2 和 1，

则这两组数字代入再求和是 102，

这样，可以很明显的看出，应避免大的数字和大的数字相遇这样就可以使最后的和最大，由此一来，只要 100 个自然数里面最大的五十个数字从 51 到 100 任意两个数字不同组，这样最终求得五十个数之和最大值就是五十个数字从 51 到 100 的和，

51 52 53 … 100=3775．

108．有一台单功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，

其运算过程是：输入第一个整数 x₁，只显示不运算，接着再输入整数 x₂后则显

示|x₁-x₂|的结果．比如依次输入 1，2，则输出的结果是|1-2|=1；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．

（1）若小明依次输入 1，2，3，4，则最后输出的结果是_______；若将 1，2，

3，4 这 4 个整数任意的一个一个的输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值

是_______，最小值是_______；

（2）若随意地一个一个的输入三个互不相等的正整数 2，a，b，全部输入完毕

后显示的最后结果设为 k，k 的最大值为 10，求 k 的最小值．

解：（1）根据题意可以得出：|1-2|=|-1|=1，|1-3|=|-2|=2，|2-4|=|-2|=2，

对于 1，2，3，4，按如下次序|||1-3|-4|-2|=0，|||1-3|-2|-4|=4，

故全部输入完毕后显示的结果的最大值是 4，最小值是 0；

故答案为：2，4，0；

（2）∵随意地一个一个的输入三个互不相等的正整数 2，a，b，全部输入完毕

后显示的最后结果设为 k，k 的最大值为 10，

∴设 b 为较大数字，当 a=1 时，|b-|a-2||=|b-1|=10，

解得：b=11，

故此时任意输入后得到的最小数为：|2-|11-1||=8，

设 b 为较大数字，当 b＞a＞2 时，|b-|a-2||=|b-a 2|=10，

则 b-a 2=10，即 b-a=8，则 a-b=-8，

故此时任意输入后得到的最小数为：|a-|b-2||=|a-b 2|=6，

综上所述：k 的最小值为 6．

109．从数码 1，2，3，4，5，6，7，8，9 中任选 4 个数码，用这四个数码组

成数字最接近的两个两位数，并用 d 表示这两个两位数的差的绝对值（例如，

选取数码 1，2，7，9），则 d=|27-19|=8），这样，任意四个数码就对应一个正

整数 d，求 d 的最大值．

109．解：显然，两位数的十位项肯定是相差最少的两个数．由于 9 个数取 4 个，

所以至少有 2 个数字的差不大于 2．

因此要让 d 尽量大的话，十位数最大也就相差 2．

要让两个两位数尽量接近，那么较小的十位数应该与较大的个位数组合，较大的

十位数与较小的个位数组合，那么其差值就会比较小．

所以为了让 d 最大化，个位数应该尽量接近．但是再接近其差值也不能小于 2，

因为一旦小于 2，这两个数就会被选为十位数了．

所以最后的结论就是，要让 d 最大化，这四个数字必须分别相差 2．

你可以设四个数分别为 A，A 2，A 4，A 6

那么

d=|A×10 A 6-（A 2）×10-（A 4）|

d=|11A-11A 6-24|

d=18．

110．有一正整数列 1，2，3，…，2n-1、2n，现从中挑出 n 个数，从大到小

排列依次为 a₁，a₂，…，aₙ，另 n 个数从小到大排列依次为 b₁，b₂，…，bₙ．求

|a₁-b₁| |a₂-b₂| … |aₙ-bₙ|之所有可能的值．

解：令 n 1、n 2、n 3、…、2n 为大数，1、2、3、…、n 为小数．

设 aᵢ中必也有 n-k 个小数，则 bᵢ中必有 n-k 个大数，k 个小数，

其中 i=1，2，3，n，0≤k≤n，k∈Z

令：a₁，a₂，…，aₖ，bₖ₊₁，bₖ₊₂，…，bₙ 为大数，

b₁，b₂，…，bₖ，aₖ₊₁，aₖ₊₂，…，aₙ 为小数．故|a₁-b₁| |a₂-b₂| … |aₙ-bₙ|

=|a₁-b₁| |a₂-b₂| … |aₖ-bₖ| |aₖ₊₁-bₖ₊₁| |aₖ₊₂-bₖ₊₂| … |aₙ-bₙ|

=（a₁-b₁） （a₂-b₂） … （aₖ-bₖ） （bₖ₊₁-aₖ₊₁） （bₖ₊₂-aₖ₊₂） … （aₙ-bₙ）

=（（n 1） （n 2） … （2n））-（1 2 3 … n）

=n²．

奥数教程：绝对值的几何意义

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