一次方程（组）

一、方程和方程的解的概念

1．等式的性质

（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式．

（2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数，所得的结果仍是等式．

2．方程

含有未知数的等式叫做方程．

3．方程的解

使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；求方程的解的过程叫做解方程．

二、一元一次方程及其解法

1．一元一次方程

经化简后，只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为ax b=0（a≠0）．

注意：x前面的系数不为0．

2．一元一次方程的解

使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．

3．一元一次方程ax b=0（a≠0）的求解步骤

注意：解方程时移项容易忘记改变符号而出错，要注意解方程的依据是等式的性质，在等式两边同时加上或减去一个代数式时，等式仍然成立，这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项，此时该项在方程一边是0，而另一边是它改变符号后的项，所以移项必须变号．

三、二元一次方程（组）及解的概念

1．二元一次方程

含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．

2．二元一次方程的解

使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解．

3．二元一次方程组

由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为

4．解二元一次方程组的基本思想

解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程．

5．二元一次方程组的解法

（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．

（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．

四、一次方程（组）的应用

1．列方程（组）解应用题的一般步骤

（1）审题；

（2）设出未知数；

（3）列出含未知数的等式——方程；

（4）解方程（组）；

（5）检验结果；

（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）．

2．一次方程（组）常见的应用题型

（1）销售打折问题：利润售价-成本价=利润率×成本；利润率=利润÷成本×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量．

（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金 利息=本金×(1 利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．

（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间，甲、乙合作的工作效率=甲的工作效率 乙的工作效率．

（4）行程问题：路程=速度×时间．

（5）相遇问题：全路程=甲走的路程 乙走的路程．

（6）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程.

（7）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程 两地间距离=追者走的路程．

（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度 水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度．

（9）分配问题：总量=甲的数量 乙的数量，总金额=甲的金额 乙的金额

（10）增长率问题：已知基础量为a,增长后为b,若设增长率为x,则可得a(1 x)=b.

提分技巧一：快速解方程组的技巧

解方程组中的消元，其实质是将二元一次方程组转化为一元一次方程。代入消元法和加减消元法是解二元一次方程组的两种基本方法，应针对方程组的特征进行选择。

(1)如果方程组中某一个未知数的系数是1或者-1，那么应采用代入消元法.

(2)如果两个方程中相同未知数的系数互为相反数或相同，那么应采用加减消元法。

(3)如果两个方程中相同未知数的系数成倍数关系，那么应采用加减消元法来简化运算。

(4)如果两个方程消去未知数的过程繁杂，而消去常数的过程简单，那么可通过加减消元法消去常数,再用代入消元法求解。

注：还可以用整体代入消元或换元法化繁为简，快速解题。

提分技巧二：一次方程(组)的应用题中等量关系的寻找方法

1.对于一次方程(组)的实际应用题，一般可从以下三个方面寻找等量关系。

（1）熟记常见数量关系，根据常见数量关系找等量关系，如：工程问题、行程问题等。

（2）根据公式找等量关系，如周长、面积、体积等.

（3）在有倍数、和差关系的应用题中建立等量关系，这类题目中常有“一共是……”，“比……多(少)”，“是……的几倍”，“比……的几倍多(少)”等。

2.对于几何应用题，等量关系一般隐藏在图形的性质中，如矩形的对边相等，正方形的四边相等。

提分技巧三：规范性答题：一次方程（组）的应用