一、定理和逆定理

（1）、定理:如果一元二次方程aX＾2 bX十c=O（a≠0）的两个根为X1,X2，那么X1十X2=一b/a，XI.X2=c/a，

（2）、逆定理：如果XI十X2=一b/a，X1．X2=c/a，那么

X1，X2是一元=次方程aX＾2 bX十c=0（a≠O）的两个根。

二、定理及逆定理的应用

（一）判断或检验方程的根

例1、已知XI=2，X2=5，计判断2和5是不是一元二次方程X＾2一7X十10=0的根。

解：∵X1十X2=7，且X|．X2=10,

∴X1=2，X2=5是方程X＾2一7X十10=O的二根。

（二）已知=次方程的一个根，可求该方程的另一个根或方程中字母系数的值。

例2、己知一元二次方程X＾2 bX十12=0的一根是4，求方程的另一个根和b的值。

解：设X1=4，另一根为X2，由韦达定理知：

X1 X2=一b/a，且a=1

XI．X2=c/a，∴4X2=12∴X2=3,

∴b=一（XI十X2）=4十3=7

即方程的另一根是3,b值是7。

（三）、已知方程的两个根或已知方程两根的和与两根的程，作此方程。

例3、已知一个—元二次方程的两根分别是5和8求作这个一元二次方程。

解：由韦达定理可知所求二次方程应为：

X＾2一（X1 X2）X十X1X2=0,

∵X1十X2=5十8=13,XIX2=5×8=4O

∴X＾2-13 40=O即为所求方程。

（四）、利用韦达定理求有关一元二次方程根的代数式的值

例4、已知一元二次方程3X＾2一4X=一1的两根是X1,X2，，不解方程求代数式1/X1十1/X2的值。

解：原方程移项得：3X＾2一4X十1=0,

由韦达定理得：X1十X2=4/3,X1X2=1/3,

∴1/X1 1/X2=（X1 X2）/X1X2=4/3÷1/3=4

（五）不解方程，判别根的性质和符号

①因为X1十X2=一b/a，所以可利用一b/a判断绝对值较大的根是正、负或者两根绝对值相等。

若一b/a>O时，则正根的绝对值较大；

若一b/a<O时，则负根的绝对值较大；

若一b/a=O时，两根绝对值相等。

②因为两根X1X2=c/a，所以可利用c/a判别一元二次方程两实数根的符号是否相等及是否有根等于零

当c/a>0时，两实数根同号；

当c/a<0时，两实数根异号；

当c/a=O时，至少有一个根等于零。