四点共圆的几种判断方法

若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。

四点共圆的判断方法较多，下面分述及证明如下。

一、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆

如下图，OA=OB=OC=OD，作以O点为圆心，OA为半径的圆，则A、B、C、D四点均在圆上，即四点共圆。

从圆的基本概念可以很好理解：圆是平面上的一种几何图形，指的是到一个定点距离为定值的所有点的集合，这个定点为圆心，定值的距离为圆的半径。

二、同（共）斜边的直角三角形的顶点共圆

如下图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，则A、B、C、D四点共圆。

证明：设斜边DB的中点为O，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得知，OA=OB=OC=OD，故则A、B、C、D四点共圆，BD为圆的直径，圆心为O。

三、若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个点共圆。

如下图，四边形ABCD中，∠A ∠C=180°。求证：A、B、C、D四点共圆。

证明：本题证明采用反证法：已知四边形ABCD中，∠A ∠C=180°，所以∠D ∠B=180°，∠ADC =180°-∠B。

过A、B、C三点作圆O，则D点要么在圆内，要么在圆外，如果这两种情况都不可能，那么点D只能在圆上。

先假设点D在圆内，延长AD交圆于D′，连接CD′，则∠D′=180°-∠B，故∠ADC =∠D′，这与“三角形外角大于不相邻的内角”定理相矛盾，故点D不在圆内。

再假设点D在圆外，同样可证明点D不在圆外。

最后只有一种情况就是点D在圆上，即A、B、C、D四点共圆。

四、 若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。

该结论基于“若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个点共圆”很容易证明，在此不再赘述。

五、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。亦可描述为：两个三角形有一条公共边，这条边所对的角相等，并且在公共边的同侧，那么这两个三角形有公共的外接圆。

证明：如下图，先作△ABC的外接圆O，在圆O劣弧AB上取点E，E、C两点位于AB的异侧。

这样A、C、B、E四点共圆，∠C ∠E=180°。

已知∠C=∠D，故∠D ∠E=180°。

由此A、E、B、D四点共圆。

因为过不共线的三个点（A、B、E）可以作一个圆且只可以作一个圆O，所以A、B、C、D四点共圆，也就是说三角形ABC和三角形ABD有公共的外接圆。