柯西不等式:若a₁、a₂、…、aₙ均为非负数，n为大于1的整数，则a₁ a₂ … aₙ≥

n ⁿ√（a₁a₂…aₙ），其中当a₁=a₂=…=aₙ时

等号成立.

为证明柯西不等式，首先介绍下列两个引理:

引理1 若a、b为非负数，则a b≥

2√（ab），其中当a=b时等号成立.

引理2 若a₁、a₂、…、aₙ均为非负数，

且n=2ˣ，x为正整数，则

a₁ a₂ … aₙ≥n ⁿ√（a₁a₂…aₙ），其中当a₁=a₂=…=aₙ时等号成立.

引理的说明:引理1显然成立（证明从略），逐施引理1即可得到引理2（证明从略）.

其次证明柯西不等式:

（1）当n=2ˣ，x为正整数时，由引理2可直接得到所证结论成立.

（2）当n=2ˣ-y，即n y=2ˣ，1≤y≤2ˣ-3，

x、y为正整数，且x>1时，设

aₙ₊₁=aₙ₊₂=…=aₙ₊ᵧ=ⁿ√（a₁a₂…aₙ），

则由引理2可得

a₁ a₂ … aₙ aₙ₊₁ aₙ₊₂ … aₙ₊ᵧ≥

（n y）ⁿ⁺ʸ√［（a₁a₂…aₙ）ⁿ√（a₁a₂…aₙ）ⁿ√（a₁a₂…aₙ）…ⁿ√（a₁a₂…aₙ）］=

（n y）ⁿ⁺ʸ√［（a₁a₂…aₙ）⁽ⁿ⁺ʸ ⁾/ⁿ］=

（n y）ⁿ√（a₁a₂…aₙ），

其中当a₁=a₂=…=aₙ时等号成立.

即a₁ a₂ … aₙ ⁿ√（a₁a₂…aₙ）

ⁿ√（a₁a₂…aₙ） … ⁿ√（a₁a₂…aₙ）≥

（n y）ⁿ√（a₁a₂…aₙ），

故a₁ a₂ … aₙ≥nⁿ√（a₁a₂…aₙ）.

其中当a₁=a₂=…=aₙ时等号成立.

从而柯西不等式明所欲证！