三角形三边与外接圆R的关系

若S是三角形ABC的面积，三角形的外接圆半径为R， 三边长分别是a, b, c, 证明

4RS=abc

证明：如图，让AD经过圆心，成为直径，连接BD，做高AH，

由于在直角三角形ABD和直角三角形AHC中有：

∠ADB=∠ACH，（都对应相同的弧AB）因此有

△ADB与△ACH相似，

所以有比例关系：

AH/AC=AB/AD

即2R·AH=AC·AB，

两边同时乘以BC，

2R·AH·BC=AC·AB·BC， 而AH·BC=2S， 所以：

4RS=abc